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CAPÍTULO 1
VECTORES Y FLECHAS. REPRESENTACIONES ANALÍTICAS
1.1. Introducción
La definición más general de vector se da en
las matemáticas, donde se introduce el concepto de
espacio vectorial real. Estos espacios son conjuntos
cuyos elementos, denominados vectores, obedecen un
sistema de axiomas que incorpora una relación de
igualdad de vectores y regula dos operaciones
vectoriales básicas: la suma vectorial y el producto de
un vector por un número real.
El concepto matemático de vector es abstracto.
No concierne esencialmente a las matemáticas la
cuestión de qué son los vectores, sino cómo se
comportan, es decir, cuál es el álgebra que los
gobierna. Corresponde ya a las diversas disciplinas,
aplicadas o no, el crear o identificar las especies de
vectores que les sean útiles y naturales.
Esto último es 10 que haremos en la física.
Vamos a introducir una especie de vectores concretos
que, por darles un nombre, denominaremos vectores
fisicos. Esta clase de vectores son parejas ordenadas de
números reales, a las que podemos hacerles corres–
ponder propiedades de magnitud y dirección. El
estudiante interesado en profundizar en el aspecto
lógico y formal de los vectores abstractos hará bien en
consultar los libros de matemáticas dedicados.
Nos limitaremos a vectores bidimensionales,
basándonos en un espacio plano euclídeo donde
estableceremos sistemas de coordenadas cartesianas.
1.2. ¿Qué es un vector físico?
En la física hay muchas cantidades con
propiedades de magnitud y dirección. La velocidad es
una de ellas: para muchos fines prácticos no bastaría
decir, por ejemplo, que la velocidad de un avión fuera
de, digamos, 300 km/h; sería menester especificar
además en qué dirección se está moviendo el avión.
Lo mismo podemos decir ~cerca de las fuerzas. El
efecto de un jalón o empujón depende no solamente
de qué tan fuerte lo demos, sino también de hacia
dónde jalemos o empujemos. Otras cantidades físicas
como el desplazamiento, la aceleración, el ímpetu o
momento lineal, el campo eléctrico, magnético o
gravitatorio, etc., pertenecen a este género de
cantidades, las cuales se denominan vectores o
cantidades vectoriales.
(1) Un vector físico es una cantidad con
propiedades de magnitud y dirección.
Nota. De ahora en adelante abreviaremos "vector
físico" por "vector", a secas.
Pasemos de la fís ica a la geometría. Hay
objetos geométricos simples a los que también
podemos atribuÍrles propiedades de magnitud y
dirección. Son los segmentos rectos dirigidos O flechas.
Fig. 1. Flecha.
A todo vector físico le podemos asociar una
flecha. La longitud de la flecha correspondería a la
magnitud de la cantidad física vectorial considerada, y
la dirección de la Becha en el papel o pizarrón
correspondería a la di rección de la c~tidad física en
el espacio físico (más sobre este asunto en la sección
4.5). Claro está, habría que definir una escala de
conversión entre las unidades de longitud de la flecha
y las unidades físicas del vector. Por ejemplo,
podríamos convenir en que un segmento de 10 mm
representara 100 km/ h; entonces una velocidad de
500 km/h vendría representada por una flecha de 50
mm. Necesitaríamos definir una escala conveniente
para cada clase de cantidad vectorial física examinada,
según las unidades que tenga. Todas estas escalas
coexistirían junto con la escala de longitud de los ejes
X y Y del sistema adoptado.
La correspondencia vector f-t flecha va más
allá de la mera representación gráfica de magnitud y
dirección. Las operaciones algebraicas con vectores
tienen sus análogas con flechas (citemos, por ejemplo,
la ley del paralelogramo). Las le~~s de transformación
de los vectores frente a traslaciones y rotaciones del
sistema de coordenadas son muy comprensibles si
echamos mano de las flechas. Finalmente, en la física
se usan muchas clases de diagramas con base en
flechas, las cuales nos permiten reconocer
inmediatamente las interdependencias direccionales
de las cantidades físicas que representan.