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Maleriales para la electr6/1ica
válida en la parte alta
y
baja de las bandas, donde
las propiedades electrónicas de los semiconduc–
tores se definen.
La
densidad de estados en la banda de con–
ducción y de valencia tendría expresamente la
siguiente forma, donde las constantes
Dc
Y
Dv
serían distitintas en virtud de que las masas efec–
tivas para los huecos y para los electrones son
diferentes. Además hay que incluir la informa–
ción relacionada con la posición
de
la banda: Ec
es el mínimo de la banda de conducción y
Ev
es
el máximo de banda d e valencia.
,
D(E)~
=
De(E -
Ed 2; E
~
Ec
,
D(E)h.......
=
Dv(Ev
-
E)2;
E S
Ev
(11.21)
Conforme aumenta el número de partículas
en un sistema, el tratamiento estadístico
se
vuel–
ve obligatorio. Esto nos lleva a obtener resulta–
d os sobre el sistema en general y no sólo sobre el
movimiento de cada partícula.
La
función de distribución f(E) da la probabi–
lidad de que d eterminado número de partículas
ocupen un d eterminado estado de energía. Exis–
ten diferentes estadísticas d e distribución de
acuerdo con las características de las partículas
que describen. La que describe correctamente el
comportamiento de los electrones es la estadísti–
ca de Fermi-Dirac, que supone partículas indis–
tinguibles e igua les además de cumplir el princi–
pio d e exclusión de Pauli .
I,(E)
=
(E _
E,)
1
+
exp---¡:r-
(11.22)
Esta función d escribe la estadíst;ca de ocupa–
ción de los estados en un sólido como función de
la temperatura,endonde E,es la energía de Fermi
cuando ésta se aproxima a cero, ya que todos los
niveles con energía menor a Er tienen una proba–
bilidad de ocupación igual a l,
lf(E)
=
1
J
y todos los
ni veles con energía ma yor a
Er
están vacíos,
lf(E)
=
Ol·
La
estadística de Boltzmann que se es–
tud ió anteriormente puede usarse para aproxi–
mar la función d e Fermi-Dirac, pero sólo en el
caso en que E
>
E, o E
<
Er
para el caso
l-f(E).
j{EI
1\
»0
L-__________
-LI__
"'~
__
~ E
FIg ura 11.17. Función de d istribución de Fermi-Dirac.
De manera s imilar, la función de distribución
para los huecos es:
I,(E)
=
1 -
f,(E)
(E, -
El
l +exp---¡;y-
(11.23)
En el caso de temperaturas diferentes d e cero,
la probabilidad de que un nivel con energía
O
mayo r a
E,
esté ocupado es igual a la probabili–
dad de que un estado con energía
O
menor a
Er
esté vacío.
Ahora que sabemos cómo se distribuyen los
niveles de los electrones
D(E)
y
cómo se acomo–
dan los electrones en los estad os
f(E),
estamos en
condiciones de ca lcular el número de electrones
y
d e huecos por unidad de volumen. Para reali–
zar el cá lculo de los electrones, se cuentan única–
mente los que se pueden mover en la banda de
conducción, es decir, los electrones que tienen
una energía mayor a Ee. Para calcular la cantidad
de huecos es necesario contar los electrones que
se pueden mover en la banda de valencia, los
electrones con energía menor a
Ev.
En lugar de
contar lodos los electrones se tienen en cuenta los
espacios por donde los electrones se pueden mo–
ver
¡.(E).
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