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Materia/es para /a electró"ico
nen para los electrones en un metal, que son
usualmente de muchos órdenes de magnitud
menores.
La movilidad en los sólidos iónicos dependerá.
de la facilidad de cambiar de posición: si todas
las posiciones de la red cristalina del material
están ocupadas, como sucede a muy baja tempe–
ratura, muy difícilmente se moverá algún ion. La
conductividad tiende a cero a medida que la tem–
peratura tiende a cero.
La movilidad aumentará cuando se aumenten
los espacios, que se llaman vacantes. Al respon–
der a la pregunta de cómo varía la cantidad de
vacantes con la temperatura, sabremos cómo
cambia la conductividad con la temperatura.
¿Cómo se forma una vacante?
En la figura 11.12 apa rece el proceso de movi–
miento de un átomo desde el interior de una red
cristalina hacia la superficie. La posición final de
la red sin un ion es una vacante.
Para calcular la energía de formación de una
vacante, veamos cuánta energía tiene el sistema
antes y después de su formación.
Para formar la vacan te se rompen cuatro enla–
ces y se reconstruyen solamente dos enlaces, así
que hay dos enlaces rotos de diferencia. Si supo–
nemos que la energía de enlace es del orden de
0.5 eV, tend remos que es necesario proporcionar
aproximadamente 1 eV para formar una vacante
(aquí se calculó para dos dimensiones; para tres
dimensiones el procedimiento es parecido).
¿Cuándo tendrá el átomo energía suficiente
para formar una vacante?
¿Cómo obtiene energía el átomo?
En este caso nos interesa n los cambios de
conductividad producidos por la temperatura.
La energía del átomo está dada por la tempera–
tura, y aproximadamente cada átomo tendrá
una energía promedio igual a kT, donde k es la
constante de Bo ltzmann (k = 8.6174 x 10..5 eV/ K),
y T representa la temperatura medida en Kelvin
(T[K) = 273.15 + T[ · e».
Entonces, ¿aproximadamente a 15 000 K se
tendría la energía necesaria para formar una va–
cante?
Esto sería verdad si cada átomo fuera inde–
pendiente de los demás, pero en realidad no es
o O 0;:-: O O O o- o
I
O O 7 O O O O O O O
O 0-7- 0 O O O O O
O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O
Figura 11.12. Formaci6n de una vacanle .
así: los átomos se comportan como un sistema
acoplado. La figura JI.13 presenta la diferencia en
la distribución de la energía cuando tenemos
átomos aislados y cuando están acoplados.
Así, no es necesario que cada átomo tenga la
energía necesaria pa ra formar una vacante. Aun
cuando todos los átomos tienen una energía pro–
medio mucho menor, algunos átomos, tomando
energía de los demás átomos que forman el sis–
tema, pueden llegar a tener la energía suficiente
para formar una vacante.
La ecuación de Boltzmann presenta esta infor–
mación. Por ser una ecuación básica de todos los
procesos activados térmicamente, tiene diferen–
tes nombres en diversas áreas de estudio. Para
nosotros será la expresión para la estadística de
Boltzmann.
N = N,ex p(- ;;) (11.18)
Noes el número total de vacantes que puede
lener un sistema por unidad de volumen, y es del
orden de lon cm-3. Eoes la energía necesaria para
formar una vacan te, mientras que kT es la energía
promedio que cada átomo tiene, proporcionada
por la temperatura. Finalmente, N es el número
de vacantes que tiene el sistema por unidad de
volumen.
En conclusión, podemos decir que si bien no
conocemos los detalles de la curva de conducti–
vidad como función de la temperatura en los
materiales aislantes, sí podemos decir que su
conductividad aumenta exponencialmente con
la temperatura.
De manera simila r, la estadís tica de Boltz–
mann describe la distribución de las partículas
en la escala de energía, si a todas ellas se les
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