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Materiales para la electróllica
(la separación entre átomo y átomo,
d,
es muy
grande) a un sólido (la separación atómica
d
=
xo,
es pequeña).
En el diagrama se señala el punto en que la
distancia interatómica es
xo,
la posición a tómica
de equilibrio para el sólido de silicio a la tempe–
ratura y presión ambientes. El sistema es más
estable cuando la d istancia interatómica es
X
o
(es
decir. cuando tiene una energía total mínima).
Para modificar esta posición habrá que agregar
energía al sistema oextraérsela, en forma de calor
o de presión.
Las ideas esenciales de las que se parte para
construir el diagrama anterior son más o menos
simples. Imagine que tenemos tres átomos
idénticos aislados uno del otro
(d
es muy gran–
de). Los diagramas de energía de estos tres
átomos serían idénticos. Sin pérdida de genera–
lidad podríamos suponer que estos espectros
surgen del estudio de una partícula en una caja
de potencial infinito.
Al disminuir la separación entre los átomos
(d
tiende a x
o),
los ponemos a interactuar. El prin–
cipio de Pauli establece que dos niveles de un
sistema (sea éste un átomo o 10 n á tomos) no
pueden tener la misma energía, así que un nivel
atómico se "desdobla" en tantos niveles co–
mo átomos formen al sólido.
Esto explica parcialmente el diagrama de la
figura
n.l .
Algunos d etalles no están explicados,
como por ejemplo, las condiciones requeridas
para la formación del sistema más estable con
energía total mínima. Los detalles se pueden
aclarar consultando las referencias.
El modelo de Kronig-Penney estud ia la diná–
m ica de un electrón en un potencial periódico.
Éste será nuestro primer intento formal por co–
nocer las características de los electrones en un
sólido; has ta ahora conocemos las características
de los electrones libres y ligados a un átomo
aislado, pero no sabemos qué pasa con ellos al
"meterlos" en un sólido.
Un electrón libre se describe por la siguiente
func ión de onda:
(11.1)
r
NIveles de energfa para
tres átomos si
d
-'Jo'"
Niveles de energla para
los mIsmos tres átomos
51 rI = r o
Figura 11.2. Formación de las
~bandas-
de energia
para un sólido de tres átomos.
T -
- E
fl
2
e
L
lene una energla
=
- -o
o que se repre-
2/11
senta en un diagrama de energía contra cantidad
de movimiento (E
versllS
k),
como una parábola.
Al confinar a la partícula dentro de un sólido,
la energía E
y
la cantidad de movimiento
k
deben
satisfacer alguna regla de cuantización.
Para la solución de este problema, partamos
de la hipótesis de que se cumple la ecuación de
Schr6dinger.
-
- ¡r
_ 1i
Ho/
=
Eo/;
H
=
2,;
+
V(X,
y,
z);
p::;
¡ V
(11.2)
La solución implica el conocimiento de la
energía potencial
V(x,
y,
z), q ue vería un electrón
al moverse dentro del sólido, además de las con–
diciones de la frontera necesarias para resolver
la ecuación diferencial.
Las simplificaciones que se emplearán para
resolver el problema son:
Consideraremos una red perfectamente perió–
dica unidimensional, sin interrupciones ni fron–
teras y con periodicidad
a.
(Los cristales perfectos
sólo pueden obtenerse en los libros de texto.)
Se
estudia rá lo que pasa con un solo electrón
en el potencial producido por todos los iones
y
por el resto de los electrones que no se tengan en
cuenta (un electrón en un potencial periódico).
Existe una función simple que mantiene la
calidad de periodicidad y todas las propiedades
esencia les que hemos comentado, la cual se co–
noce como potencial de Kronig-Penney.
La periodicidad de l potencial se traduce en
periodicidad de la función de onda, por medio
del teorema de Oloch.
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