Página 84 - Analisis de señales

Veamos el efecto de la función Ii en convolución con una función f(l).
Si aplicamos la definición de convolución def(l) con Ii(l)
f(t )' 8(t) ~ [ f (x )8(I - x)dx ~ 8(t)' f (l) ~ [ 8(x)f(l - x)dx ~ f(t)
la integra l es válida en un solo punto, es decir, cuando x = o.
NOTA: La convolución de ul1afunción f(t) con unafunción impulso unitario
Ii(t) conduce a la misma función f(t).
En genera l, si Ii está definida como Ii( t- T), donde T es igua l al despla–
zamiento en el tiempo, la convol ución con una seña lf(!) será:
8(t - T)' f(l) ~ f(l- T)
El teorema de convolución en el tiempo afirma que si :3[/,(1)] ~ F,(w) y
:3[1,(1)] ~ F,(w), entonces:
:3[/,(1)' f,(I)] ~ F,(w)F,(w) (111.24)
Demostración:
Sabemos que
f,(I)'f,(t)~ [/,(x)f, (t-x)dx
aplicando la transformada de Fourier af,(I)'f,(I), tenemos que
:3{J, (1)' f,(I) } ~ [[Jj, (x)f,(t - x)dx }-¡"" di
intercambiando el orden de integración:
aplica ndo la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transforma–
da de Fourier de f~f, (t - x)e-''''dl, tenemos:
f~f2 (t - xV""' dl = e-'''''' F,(w)
Sustituyendo este resultado nos queda:
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