Página 22 - Analisis de señales
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-
+
- O,
SI n, ",-0,1, 2...
_ __1_[Cos[(",+n)21t] cos[(",-n)21t] _ 1___ 1_ ]_
.
_
2w
o
111+11
m-11
111+11
m - l1
lo cua l demuestra que el conjunto de funciones sen(mwot)
y
cos(nwot)
for–
man un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo
[O, T].
Es posible demostrar también los siguientes resultad os, que, como
veremos más adelante, son útiles para el cálculo de los coeficientes de la
serie de Fourier:
r
{O
!
COS("'ülot)cos(nülot)dt
=
T/ 2
si
m:l;n
si
m=I1:1;O
f
r
{O
si
111'1:11
sen("'ül ot)sen(lIül ot)dt
=
T/ 2
si
m = l1'*-O
o
(11.5)
(11.6)
Las demostraciones de las expresiones 11.5
y
1l.6 se dejan como ejerci–
cio para el lector.
Las relaciones anteriores muestran que las funciones:
{l ,
cos(wot ),
cos(2wot), cos(3wot ),...,
sen(w,t), sen(2w o
t),
sen(3w o
t),...
1
forman un conjunto
ortogonal de funciones en el interva lo O
<
t
<
T
Ypor lo tanto se pueden
utilizar para representar funciones en términos de éstas.
SERIE DE FOURIER TR IGONOMÉTRICA
Estas series fueron utilizadas inicialmente por Joseph Fourier para la solu–
ción de problemas relacionados con la transferencia de ca lor.
Según el teorema de Fourier, una función
f(t)
se p uede representar
como una combinación linea l de funciones ortogonales, en pa rticula r
como una combinación lineal de funciones seno
y
coseno, de la siguiente
manera:
I( t)
=
no
+
~:rn,
COS(llül ot) + b"sen(lIül o
t)]
(11.7)
donde
0 0'
a"
y
b"
son los coeficientes de Fourier, los cuales se obtienen a
pa rti r
de f(t);
W
o
es la frecuencia fundamental
y
2w o' 3w o ...
se conocen como
los componen tes a rmónicos de la seña l.
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