Página 84 - Coordinación de Servicios de Información
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Escojamos
el
punto O como el origen de los
vectores de posición de todos los puntos (o sea
A
~
OA, G
~
OG,
etc)
Expresemos primeramente los "datos" en
forma vectorial:
MI es el punto medio de 08:
(r3)
I
M,~
- B
2
M 2 es el punto medio de OA:
(r4)
1
Mz~
-
A
2
El punto G está en la línea AM
1 :
El punto G está en la línea 8M 2:
(r6)
G
~
(1 - fl) B
+
fl M ,
(Con respecto a las dos últimas relaciones consulte el
cuadro (65)-p70.)
Lo que sigue está claro, pues viene sugerido
por la estructura de los d atos.
Igualamos las expresiones (r5)
y
(r6) de G:
(1 - A) A
+
A M ,
~
(1 - fl ) B
+
fl M ,
Luego sustituimos aquí M 1
y
M 2 por sus
valores en términos de A
y
B, dados por (r3)
y
(r4):
1
1
(1 - A) A
+
A - B
~
(1 - fl) B
+
fl - A
2
2
Simplificando llegamos a
I
1
(1 - A - - fl ) A
+
(- 1
+ -
A
+
fl) B
~
O
2
2
Como A Y B son linealmente independientes
(no paralelos), la única forma de 'que se cumpla la
ecuación anterior es que los coeficientes de A
y
B sean
iguales a cero:
1
I -A--fl ~ O
2
Resolviendo este sistema se encuentra que
2
A=P=-
3
Entonces, de (r3)
y
(r4):
1
2
J
2
C =- A +-M , = - B+- M ,
3
3
3
3
Usando esta expresión
pard
G tenemos ahora
1
1
M , G = G-M, =-(B- M ,)=-M,B
3
3
I-7l
De aqui se sigue (rJ). Lo mismo hacemos para
demostrar (r1 ).
5.7. Problemas
1. Calcular el producto escalar de los vectores
(a)
M
~
(-
4,9) YN· (2. 7)
(b)
S · Si - 4j Y
Q
·12i
+
j
Resp. 55; 56
2. Hallar
el
ángulo que forman los vectores
.. (1, 9) Y
e · (-
3, 1)
Resp.77.9°
3. Considere la ecuación trigonométrica
acos8+bsen8=c
donde
a,
b
y
e son números dados
y
la incógnita es 8.
Resuélvala por métodos vectoriales del siguiente
modo: exprese el miembro izquierdo de la ecuación en
forma de un producto escalar de los vectores A
=
(a,
b)
y
u
=
(cos 8, sen 8). ¿Qué condición debe cumplirse
para que exista solución? Defina el vector unitario
