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(66)
Si el punto P cae justamente a la mitad del
.segmento
AI3,
entonces se tiene que
1
P =-(A + B)
2
A
.
--
p
o
P divide AB en
dos paJtes iguales
p )
-
--
B
B
Fig.111
Es mucho lo que podemos hacer con los
resultados (64). (65) Y(66).
~ j emplo
49.1
Demostrar que los puntos medios de los
lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de
un
paralelogramo (Fig. 112).
Hnbrá que demostrar una de las siguientes
igualdades vectoriales:
(rl )
(r2)
D
M3
e
,
M.
,
,
,
,
,
,
,
,
M2
,
,
o
B
Fig. 112
La ecuación (1'1) signi fica que el segmento M
1
M 2 tiene
la misma longitud que el segmento
M4M31
y
además
que ambos segmentos son paralelos. Cosa análoga
significa la (r2).
Empecemos por expresar los "datos" en forma
vectorial. Las siguientes relaciones identifican aMI,
M
21
etc. como
los puntos medios de los segmentos OB,
Be,
etc. Hemos tomado como o ri gen el vértice
O.
1
1
(r3)
M¡ " - B
(r4)
M2" - (B
+
C)
2
2
(r5)
1
1
M 3" - (e
+
D )
(r6)
M4" - D
2
2
Ahora bien,
1
I
1
M ¡M , "M,- M¡"- (B +C)- - B "- e
2
2
2
Del mismo modo obtenemos
1
1
1
M , M3" - (e+ D)- - D " - e
222
1
Tanto M
1
M 2 como M4M3 son iguales a -
C,
2
por lo que M
I
M
2 '"
M4M3' Lo mismo hacemos para
demost rar la relación (r2).
~ i e mplo
50.)
Sean OA
y
OB dos segmentos rectos que
emanan del mismo punto O. Tiremos desde los
extremos A
y
Bsendas líneas hasta el punto medio del
segmento ajeno respectivo (Fig.
113).
Demostraremos
que el punto de intersección G de estas líneas divide
las mismas en una relación de uno a dos.
B
_, .. , , .'G,___ . _. ___ . , ____
A
o
Fig.113
Sean MI Y M 2 los puntos medios/de OB
y
OA,
respectivamEnte. Debemos demostrar una de las
siguientes relaciones:
(r1 )
1
M,G" - GB
2
(r2)
1
M¡G· - GA
2
1...,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82 84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,...234