La magnitud de A " B tiene una interpretación
geométrica muy simple: es el área del paralelogramo
dete rminado por A y B, como vemos en la Fig. 102.
Área
=
IBase) 'IAltura)
=
A (B sen
e)
--- - --- ---- ---y
B
e
: B
sen
e
,
A
Fig. 102
/
/
/
/
/
Los vectores A
y
B de terminan también un
triángulo (Fig.
103).
El área"/)." de este triángulo es la
mitad del área del paralelogramo formado por A y B:
y
/).= 2.
I A
A
B I
2
Fig. 103
5.5. Usos del producto externo
x
El producto externo tiene estas propiedades:
A AB = _ B A A
(A
A)
A
(fl
B)
=
(A
fl)
A
A
B
A
A
(B
+
C)
=
A
A
B
+
A
A
e
Note muy especialmente que este producto, a
d iferencia del producto escalar, no es conmutativo.
~iemplo
46.1
Calcular el área del paralelogramo
determinado por los puntos P,
Q
y
R mostrados en la
figura.
1-67
y
P(2,3)
x
R(-3. -1)
Q(S. -4)
Fig. 104
Primeramente calculemos los vectores
RQ
y
RP,
RQ
=
r Q - r R
=
(5, - 4) - (- 3, - 1)
=
(8, - 3)
RP
=
r" - rR
=
(2, 3) - (- 3, - 1)
=
(5, 4)
Pald ohtener un área positiva, hagamos el
producto en el orden
RQ
" RP,
1
8
-31
RQ I\ RP = 5 4 =32-(-15)=47
El área del triángulo PQR es la mitad, 23.5.
El área de un polígono se puede calcular
dividiéndolo en triángulos. Por ejemplo, calculemos el
área
"D"
del polígono
PABe
sombreado de la Fig. 105.
B
Fig.105
Es igual a la diferencia de las áreas de los triángulos
PAB
y
PBC, o sea
/).=
2.
(PAA PB+ PB APC)
2
1...,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79 81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,...234