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1-58
Tenemos ahora dos notaciones equivalentes
para todo vector A, a saber,
A
~
(A x , Ay)
Y
A
~Ax
i
+
Ay
j
ambas asociadas con una base ortonormal {
i,
j ),
o con
un sistema de ejes XY.
La igualdad
y
las operaciones de suma
y
producto por real, en la segu nda notación, lucen así:
A(A x
i
+
Ay
j)
~
A
A,
i
+
A
A y
j
4.11, Relación entre las bases cartesianas
correspondientes a dos sistemas
distintos
La expresión de un vector como una
combinación lineal de los vectores b.1sicos de una base
ortonormal tiene sus \'entajas. Expliquemoo;.
En muchos problemas se ofrece introducir más
de un sistema de coordenadas. Consideremos los
sistemas ca rtesianos
OXY
y
OX'Y'
ilustrados en la Fig.
88.
y'
y
j'
i '
x
Fig. 88
Como ya hemos indicado, en la notación de paréntesis
un mismo vector
A
se escribe
en el sistema
OXY
etl el sistema
OX'Y'
Dado que hemos acordado usar
el
mismo símbolo
"A" en los dos sistemas, en esta "notación de
paréntesis"
es preciso aclarar cuál es el sistema coordenado
_ _ subyacente,.
taLcomo hemos .apuntado. a la-d e-Fecha de-
ambas representaciones (el )
y
(e2). Ahora bien,
definiendo en estos sistemas sendas bases
ortonormales
1
i,
j
l e1
ji,
j'
I
pondríamos
A
~ Ax
i
+Ay
j
A
=A'X
i'
+A'y
j'
A dife rencia de las expresiones (el )
y
(e2), en (e3)
y
(e4) no hay necesidad de especificar a qué sistema
coordenado se refiere cada expresión de A, ya que la
base vectorial empleada lo pone de manifiesto.
Advirtamos que en la notación de paréntesis
no se perm ite igua lar vectores referidos a sistemas
coordenados distin tos, como en
¡NO!
(A
x'
Av)
~
(A'
x'
A'
y)
pero sí es válido hacerlo con (e3)
y
(e4):
11'1(
i
+
Ay
j
=
A'x
j'
+
A'y
j'
Observemos que en esta relación intervienen las
componentes
A
x,
Ay,
A 'x
YA'y de un mismo vecto r,
referid ols a dos sistemas de coordenadas distintos.
Anteriormente,
tramos las
en la sección 4.5, pág. 50, encon–
relaciones que satisfacen estas
componentes. Podemos llegar a estas mismas
relaciones como se explica a continuación.
Para empezar tenemos que (Véase la Fig. 88):
i'
~
(cos
S,
sen
S)
en el sistema
OXY
j '
= (- sen 8, cos
e)
en el sistema
OXY
o bien, equ ivalentemente,
¡'=cos
e
¡
+
sen
e
j
j'
~
-
sen
8
i
+ cos
S
j
Inserta ndo éstas en (eS),
Ax
i
+Ay
j
=A'x
i'
+A'y
j'=
=
A'x
(cos
8
i
+sen
S
j)
+A'y
(-sen
8
i
+C05
8
j)
=
=
(A'
x cos
S -
A'
Ysen
S.
i
+
(A'x
sen
8
+
A'
Ycos
8
j)
