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¡-50
(47)
Las componentes de un vector no se
alteran frente a una traslación del sistema de
coordenadas. Matemáticamente,
v'
x
==
V
x
Consideremos ahora dos sistemas con origen
común, uno de aquellos rotado con respecto al otro.
Observe la Fig. 70; los ejes
X'
y
Y'
se han obtenido
girando los ejes X
y
Y en su propio plano en un ángulo
a alrededor del o ri gen O.
De la Fig. 70 podemos sacar la relación entre
las componentes de v en ambos sistemas: la
componente
V
x
es la diferencia de dos segmentos: el
primero de ellos es la proyección del segmento
u'
x
sobre el eje X (que va le
Vi
x cos
a),
el segundo la
proyección de
V'y
sobre este mismo eje (que vale
v '
y
sen
ex).
Obtenemos así las ecuaciones de trans*
formación .
y'
y
.... : : : ::' l'
"
o
,
, , ,
,
,
,
x'
x
Fig, 70
(48)
Ecuaciones de trausformacióll de las
componentes de vectores ante
ulla
ro tación del
sistema de coordenadas.
(a)
V
x
=
v'x
cos a -
V'y
sen
a
(b)
v y
=
V
x
sen
a
+
v
y
cos
a
Resolviendo (a) y (b) para
v'x
y
voy
tenemos las
re laciones recíprocas
(c)
v'
x
=
V
x
cos a
+
v
y
sen
a
(d)
Vi
Y
= -
V
x
sen
a
+
v
y
cos
a
Dado que en la traslación las componentes no
se alteran, las ecuaciones (48a,b)
y
(48c,d) son otras
tantas formas de expresar la
ley de transformación de
todo vector frente a traslaciones
y
rotaciones del sistema de
coordenadas.
Las propiedades de transformación son muy
simples dadas en términos de la magnitud
y
dirección
del vector (Véase la Fig. 7l). Si en el sistema OX)' el
vector tiene la expresión v
=
(v
¿
6),
entonces en otro
sistema
O'X'Y'
trasladado
y
rotado un ángulo
a
con
~especto
a aquel la expresión del vector será
V"
(v
L
e
- a).
y'
r
x'
x
Fi g. 71
AsÍ,
el vector
v
mostrado en la Fig.
71
es
v
=
(v
L 50°)
enOXY
y
V"
(v
L 30°)
en O'X'Y'
Como vemos, la magnitud no se alte ra, y
la
dirección
se reduce en
"a",
que es el ángulo que se gi ra
el
eje
X
para obtener el
eje
X'
(el vaJor de este ángulo
a
se
obtiene con la m isma regla
de
signos que atañe a la
dirección de un veclor; varía entre
- 180°
y
180°).
(49)
En la notación simbólica se usa
el mismo
símbolo
para denota r a un mismo vector en ·dos
sistemas de coordenadas distintos. De esta
manera, si un vector
A
se expresa en la forma
en algún sistema
OXY,
entonces en otro sistema
O'X'Y'
será
A "
(A", A' )')
El simbolo
" A"
no cambia, las componentes si.
