De la igualdad vectorial
Ax
i
+Ay
j
=
=
(A 'x
cos
8
- A'y
sen
8
i)
+
(A'x
sen
8
+
A'y
cos
8
j)
se sigue ahora, igualando coeficientes de
i
y
j,
~
Ax
= A'x cos
e
- A'y
sen
e
~
Ay
=
A'x sen
e
+
A'y
cos
e
Hemos recuperado así la ley de transformación de los
vectores frente a rotaciones del sistema de
coordenadas.
También se puede proceder a la inversa en (eS),
expresando
i )'
j
en términos de
j '
y
j',
o sea,
invirtiendo las relaciones (e6)
y
(e7),
i
=
cos
e
i ' -
sen 8
j'
j
=
sen
8
i'
+
cos
8
j '
Arribaríamos a las expresiones de A'x
y
A'
Y
en
términos de
Ax
Y
A y
(Ecs. (48c,d).pSl).
(59)
Usaremos la notación de parén tesis
(más cómoda) siempre que tratemos con
1m
sólo
sistema cartesiano.
Si hay necesidad de utilizar dos o mas
sistemas, emplearemos la notación
Esta última notación también se usa para vectores
muy simples que tienen solamente una
componente. Así, los vecto res V
=
(2, O) Y
M
=
(O, -4) se pondrían simplen Lente en las formas
V = 2i,
M = - 4 j
~j emplo
38.! La aceleración de un cuerpo en caída
libre es un vector que apunta hacia el centro de la
Tierra (verticalmente hacia abajo en la localidad
supuesta), La
~ag~!:ld_
de la aceleración es
[·59
m
g
=
9,8
"2" '
Tomando los ejes X y Y en las direcciones
S
horizontal y verticaL respectivamente, como vemos en
la Fig. 89, podríamos escribir el vector aceleración "a"
en cualquiera de estas formas:
a =
(0, -
g)
o bien
a= -g j
y
l'
Lx
Fig. 89
4. 1 2.Base ortonormal polar
Aparte de la base cartesiana, que empicaremos
mayorml'lIte, haremos uso de la llamada
base polar.
Como hemos d icho, un uso frecuente de los
vectores unitarios consiste en definir direcci ones en el
plano XY. Los vectores básicos cartesianos
1
i,
j
J
definen en cada punto del plano sendas direcciones
que, por darles un nombre, podríamos denominar
dirección "horlzontal" (la de
i)
y dirección "vertical"
(la de
j ).
Naturalmente, estas direcciones son las
mismas en todo punto. En cada pWlto del plano existe
Wla infinidad de direcciones,
y
las bases vectoriales se
usan para distinguir ciertas direcciones especiales
muy útiles en las aplicaciones.
La conveniencia de la base polar se aprecia
mejor en el contexto del movimiento de una partícula.
En la Fig. 90, imaginemos que el pequeño
círculo sombreado representa una partícula que se
mueve a lo largo de 1<:1
trayectoria mostrada. En el
sistema de coordenadas polares, los puntos del plano
son parejas de coordenadas definidas como sigue:
•
La coordenada radial "r" es la d istancia del punto
al origen
O.
•
La coordenada angular "8 " es el ángulo que
forma con el eje X la línea radial que va desde el
origen hasta el punto considerado. (Este ángulo
se mide en sentido antihora'rio. Si se mide en el
sentido horario se considera negati vo.)
Se
usa la notación P(r, 8) para denotar que P es
aquel punto del plano cuyas coordenadas polares son
r y
8.
1...,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71 73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,...234