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en OXY
F'x""ma'x F'y =, ma'y en O'X'Y
FI/x :; m a"x FI/ y = m n"y en O"X"Y"
Etc.
4.6. Transformación del vector de posición
El "vecto r" de posición no cumple la ley de
transformación de todo vector (Ecs. 48a,b o 48c,d ).
Expliquemos.
En la Fig. 73 imaginemos que los sistemas OXY
y O/X/Y ' coinciden inicialmente: O y O' son un mismo
punto, X es paralelo a XI y Y lo es a Y' , En este caso
tendremos que el vector de posición del punto
arbitrario P es el mismo en ambos sistemas, o sea
r = ( ', Ahora dejemos fijo el sistema OXY y
traslademos el sistema O/X'Y'; entonces la flecha r
permanecerá fija, pero la necha r' variará, puesto que
su puntu inicial siempre debe estar anclado en el
origen O', por definición. Esto es, el sistema O/XY'
arrastra coI/sigo la flecha r. En esle sentido los vectores
de posición son dependiel1tes del sistema de
coordenadas; no obedecen la ley de transformación
(48a,b).
(50) La re lación entre los vectores de posición r
y r , referidos a dos sistemas OXY y O'X'Y', es
r' = r - b
donde b = 00' es el vector de posición del origen
O' relativo al sistema OXY.
y Y' p
x
x'
Fig.73
Por esta razón los vectores de posición se
designan con símbolos dif:tintos (r y r') en sistemas
coordenados distintos (esto es una excepción a la regla
(49)-p51 ).
Y'
Y P
r X'
O'
b
O X
Fig.74
Sin embargo, si limitamos ICls transformaciones
del sistema de coordenadas a puras rotaciones
(excluyendo las traslaciones, o sea, haciendo que los
orígenes O y O' siempre coincidan), entonces el vector
de posición sí obedece la ley de transformación
(48a,b).
Un vector propio es el que cumple (48a,b) bajo
cualquier movimien to rígido (traslación + rotación)
del sistema; el vector de posición no es un vector
propio; decimos que es un vec tor solamellte allte
rotacimles. Esta particularidad del vector de posición
debe toma rse en consideración al formar "invariantes"
o "escala res" .
y
o
p
------------7r-----------. x'O'
Fig. 75
Los vecto res separación, fo rmados por
diferencias de vectores de posición, sí son vectores
propios. La razón es que los vectores separación
enlazan dos puntos inmutables del plano (o del marco
de referencia). En la Fig. 75 vemos que, si bien los
vecto res de posición de P y Q son flechas distintas en
los sistemas OXY y O/X/Y', la flecha PQ es la misma en
ambos sistemas. Matemáticamente, usando (50)
tenemos
r'Q- r'p =(rQ- b) - (rp - b) =rQ- rp