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La razón de este convenio notacional estriba en
una propiedad fundamental de invariabilidad (o
invaria/tza ) de los vectores físicos frente a traslaciones
y ro taciones del sistema de coordenadas. Esta
propiedad significa esencialmente que un vector físi co
posee el mismo significado en todo sistema de
coordenadas, lo cual se expresa matemáticamente
mediante las leyes de transformación de los vectores,
o sea las ecuaciones (48a,b) o (48c,d).
Ilustremos este importante punto con un
ejemplo simple.
Imaginemos que una catarina se mueve en
línea recta sobre este papel, con una velocidad de
7.071 mm/ s (valor igual a f50 = 7.071 ), dirigida
hacia cierto punto fijo P de la hoja (Fig. 72).
X'
Fig. 72
Podríamos tomar esta hoja de papel como marco de
referencia para el movimiento de la catarina. Tenemos
En el sistema XY mostrado,
v = (7,1)mm
s
obien v =(f50~ ¿8.13°)
s
Supongamos que rotamos el sistema XY en un
ángulo de - 36.87°, obteniendo asi otro sistema X'Y'.
La velocidad de la catarina en este nuevo sistema tiene
componentes que se calculan de (48c,d):
v~ = V x cosa+v y sena =
= 7· cos(-36.87°) + 1,sen(-36.87°) =
=7·0.8+H-0.6)=5
v~;:::: - v x sena+v y cosa =
= -7· sen(-36.87°) + l· cos(-36.87°) =
= -7 '(-0.6)+1·(0.8) = 5
(Otro modo más simple de calcularlas es a partir de la
representación v = (ML45°) en el sistema X'Y':
v'x = 7.071 cos 45° = 5, v' y = 7.071 sen 45° = 5).
En el sistema X'Y',
v = (5,5) mm o bien
s
v = (M mm ¿ 45°)
s
]·51
Ahora bien, aunque las dos representaciones analíticas
dadas (las encerradas en los cuadros de la columna
precedente) son distintas, ambas se traducen en el
mismo movimiento de la catarina con respecto al
papel (o sea, en el caso general, con respecto a los
demás objetos físicos del marco de referencia).
. p
Las magnihldes de ambos vectores velocidad,
\' = (7, 1) en XY y v ~ (5, 5) en X'Y'
son igua les, a saber, \ v \::;:.J50, y ambas direcciones
(8. 130 y 4.5°) describen un movimiento hacia el punto
P de la hoja (Véase la Fig. 72).
Esto es una ventaja más de la representación de
los vectores físicos por medio de flechas. Al trasladar
y/o rotar un sistema de coordenadas la flecha
permanece inm0vil con respecto al papel (no se
traslada y rota junto con el sistema de coordenadas).
El papel representa, por analogía, los cuerpos
circundantes al móvil (el llamado marco de referencia
del movimiento), y la inmovilidad de la flecha con
respecto al p<lpel representa la relación inmutable del
vector físico con el marco de referencia. Esta relación
se expresa matemáticamente mediante las fórmu las de
transformación dadas.
Las leyes físicas cuya expresión matemática es
una ecuación vectorial son covariantes, esto es, tienen
la misma forma matemática en todo sistema de
coordeni'ldas. Por ejemplo, la segunda ley de Newton
se expresa siempre en la forma única
F =m a
independientemente del sistema de coordenadas
empleado para operar con los vectores F y a. Para
diversos sistemas OXY, O'X'Y', O"X"Y", ete., la
segunda ley se resuelve en