Ay)
Y
B
~
(B
x ,
By).
Definamos el vector
e "
A - B yapli–
quemos la ley de los cosenos al triángu lo cuyos lados
son
1\,
B Y
C:
e'
~
A'
+
B' - 2 A B
cos
El
e
B
A
Fig.94
Ahora bien,
A
'+ B'-e'~A
'+A '+B '+B '
x
y
x
y
- [(A
x -
Bx)'
+
(A y -
By)'
~
AB
cos El
~
Ax
Bx
+
Ay
By
De aquí ya podemos obtener el ángulo 8.
La combinación de componentes
aparece frecuentemente en las aplicaciones; tiene un
nomb re especial:
(62)
Producto escalar de dos vectores.
El producto escalar de los vectores
A
=
(A x,
Ay)
YB
=
(B
x ,
By),
operación indicada
con el signo" • ", se define por
donde
e
es el menor ángulo cn tre A
y
B.
Notemos que el producto escalar de vectores
no es un vector, sino un
número real.
Se
deducen de (62) las siguientes propiedades
del producto escalar:
(A A ) •
(fl
B)
=
A
fl
(A • B)
A • (B
+
C)
=
A • B
+
A •
e
Los prod uctos escalares de los vectores de la
base cartesiana {
i,
j
J
son
5.2.
Usos del producto escalar
He aquí un par de usos frecuentes del
producto escalar:
•
Podemos expresar que dos vectores A
y
B
(distintos de O) son perpendiculares mediante la
relación
puesto que el producto escalar es AB cos 8,
y
si es
cero, entonces cos 8
='
O
y
por tanto
e
=
90°.
•
Para obtener la componente de un vector A a Jo
largo de un vector unitario
"1
(Fig. 95), formamos
el producto escalar
Au::: A •
U
=
A cos
e
=
='
componente de A a
10
largo de
ti .
A
e
,
.;-
U
_ - - -
~
Fig. 95
Right Página 76
Left Página 74
1...,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74 76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,...234