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5.3. Invariantes o escalares
Existen funciones de las componentes de uno o
más vectores que poseen el mismo valor no importa el
~istema de coordenadas en que se expresen. Tales
funciones o cantidades se denominan invariantes o
escalares.
Por ejemplo, he aquí tres de esta clase de
funciones:
La función "/' es simplemente el cuadrado de
la magnitud del vector A:
)'=A2+A2, y
Esta cantidad es obviamente un invariante.
La función "g" es el producto escalar de los
vectores A y B. El producto esca lar es un invariante.
Esto es, al calcular el producto esca lar de A y B se
obtiene el mismo valor ya sea que se expresen A y B
en en la forma
A = (A x, Ay) B = (B x , By)
o bien, en otro sistema de coordenadas distinto,
A = (A'x, A' y) B = (B'x' B'y)
En otras palabras, se encuentra que
La razón es evidente geométricamente: el producto
escalar de A y B es igual tambiér al producto de las
magnitudes A y B Y el coseno del ángulo 8 que
forman ambos vectores:
AB cos 8
Como las magnitudes y el ángulo entre los vectores
son los mismos en todo sistema de coordenadas, el
producto escalar debe ser también el mismo.
[-65
Para demostra r que la función h es un
invariante habría que sustituir Ax Y Ay como
funciones de A'x Y A'y' según las fórmulas (48a,b)-p51.
Lo mismo con respecto a Bx Y By. Se encontraría que
lo cual demuestra que "h" es un invarian te. Esta
función tiene una interpretación geométrica simple,
como veremos más adelan te.
El calificativo de "invariante" o "escalar" se
extiende a todas las cantidades físicas invariables por
naturaleza, o cuyo valor queda determinado por un
sólo valor numérico (multiplicado en general por una
unidad física), como por ejemplo la temperatura, la
masa, la energía, el trabajo, la potencia, la cantidad de
calor. el número de electrones en un átomo de helio,
etc.
Hay expresiones compuestas de magnitudes
de vectores y/o productos escalares de vectores, que
poseen iuvtlriatlz.a manifiesta, es decir, su carácter de
inva riante se reconoce inmediatamente con sólo ver la
expresión. Este es el caso, por ejemplo, de las
expresiones
A(B • C),
- 3 B3(B- C) • D
A. e
B- - –
D
las cuales están formadas con combinaciones de
invariantes, como magnitudes de vectores y productos
escalares.
Las cantidades físicas descritas por un sólo
número real son invariantes. He aquí algunas
cantidades físicas invariantes:
El trabajo W efectuado por una fuerza constante F
en un desplazamiento.6. r se define por
• La energía cinética de una partícula de masa m y
velocidad v se define por
1
K=-
2
1
rnv2 == - m v. v
2
Estas cantidades son ostensibiemente invariantes.