1-66
Una observación:
El producto escalar A • B es un invariante
frente a traslaciones
y
rotaciones del sistema de
coordenadas. Ello presupone que A
y
B son vectores
propios,
esto es, que se transforman de acuerdo con
(48a,b)-pSl. Como hemos visto, los vectores de
posición no son vectores propios, de tal mane ra que
por ejemplo un producto escalar de dos vectores de
posición,
no es un invariante.
Sin embargo, si se excluyen las
traslaciones (o sea si los orígenes O
y
O' coinciden), el
producto anterior sí es invariante.
5.4. Producto externo
(63)
El
producto externo
de dos vectores A
y
B,
denotado con A
/'1.
8 , se define por
El producto externo es un invariante o escalar, como
puede demostrarse usando las ecuaciones de
transformación de los vectores. Debido a esta
invariancia, podemos eVilluarlo en cualquier sistema
de coordenadas
y
obtener el mismo valor. Hagámoslo
para un sistema como el de la Fi g. 99, en el que los
vectores se expresan así:
y
y
A A B ~
l
A
Bcos8
B
~
(B cos
e.
B sen
e)
x
Fig.99
o
I
~
AB
sen
8
Bsen 8
invariante geométrico porque las magnitudes A, B Yel
ángulo
e
son los mismos en todo sistema de
coordenadas.
Es importante enfatizar que el ángulo
e
se
obtiene colocando los vectores desde un mismo punto
inicial, luego girando
el
primer
factor,
A,
en sentido
antihorario
hasta hacerlo coincidir con el segundo
factor
B.
Por tanto,
e
está comprendido entre 0°
y
360°. La Fig.
100
muestra un par de ejemplos de la
obtención de
8.
,--------
_._._----,
A
B
e
A
e
J
A
A
B '" AS
sen
e
<
o
A
1\
B
=
AB
sen
e
>
o
Fig.100
Si los vectores
A
y
B
son paralelos
o
antiparalelos
(Fig. 101), entonces el producto externo es nulo.
A
A
B=O
Fig. 101
El
producto externo se puede escribir también
en la forma
A
A
B ""
±
A B
sen
8
m
donde
e
m
es el
n!ínimo
ángulo que forman los vectores
A
y
B, Y
el signo se escoge así:
El
producto es positivo (negati vo) si, colocados
los dos vectores desde un mismo punto inicial, la
rotación de
A
hacia
B,
a
través del
rflí,¡jmo
ángulo
entre ambos vectores, es una rotación antihoraria
(horaria). Por ejemplo, en la Fig. 100b, el mínimo
ángulo entre A
y
B es 360° - 8, Yla rotación de A hacia
B a través de este ángulo es horaria, de modo que el
producto externo es negativo.
1...,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78 80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,...234