5.6*. Aplicaciones a la geometría clásica
Con
el
fin de mostrar el poder del álgeb ra
vectorial veremos en esta sección unas apLicaciones a
I'~
geometría clásica. Empezaremos por definir una
notación conveniente para los vectores separación.
Consideremos un polígono determinado por,
digamos, 5 puntos. Escojamos uno cualquiera de estos
puntos como origen
"0", Y
denotemos los restantes
con '" /\'",
'"B'",
"e" y
'"O" (Fig. 108).
D
Fig.108
Los vectores separación que
Vdn
desde el
punto
O
hasta cada uno de los puntos A, B,
e y o
se
denotarán con la letra que designa el punto final , es
decir, con A ,
B,
e y
D , respectivamente, como se ve
en la Fig. 109. En la notación anteriormente usada
para vectores separación tendríamos
entolll:CS
que
A " OA, B " OB
e " oc,
D " OD
A
B
D
D
Fig.109
Esto es por lo que toca a los vectores que parten de O.
Por otra parte, el vector separación entre A y B se
denotará como originalmente con
" AB",
y
así para los
demás vectores que no implican al punto O.
Considere ahora los siguientes teoremas:
164)
El vector que va del punto A al punto B es
AB = B - A
1-69
(65)
Todo vector que pnrta de
O
y
cuya punta
P
esté
sobre la recta determi nada por los puntos
A
y
B
se puede poner en la forma
P
=
(1- A) A
+
A B
dondeO$,'. $ 1.
Fig.110
Demostremos la relación (65). F.n la Fig. 1
JO
0bservamo::. que
P
es la suma de
A
y
AP:
pero el vector
AP,
por ser pa ralelo a
AB,
se puede
poner en la forma
AP =,'. AB
(conA< l )
Poniendo
en
esta última relación
A B= B-A
tenemos que
AP =,\ (B-A)
de donde la relación
P
=
A
+
AP
nos da
P=A +A (B-A)
o
sea
P
=
(1 - A)
A
+ ,'.
B
QED.
Un caso particular de (44) es cuando el punto P
llega justamente al punto medio del segmento AB.
1...,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81 83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,...234