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1-68
Note que el término
.!..
PB
1\
pe
saldrá negativo,
2
porque al rota r el vector PB hacia el vector
pe
el
sentido' de la rotación es el horario. Entonces la
expresión para el área
Ó.
es de hecho la diferencia de
las áreas de dos triángulos.
Generalicemos para un polígono de un número
arbitrario de vértices. He aquí el procedimiento:
•
Escoger uno de los vértices
~omo
"pivote"
(L1amémoslc "P").
•
A
partir
de
P,
recorrer el contorno del polígono en
sentido antihorario,
nombrando los vértices, ceruor–
se me vayan encontrando, con PI, P2'
..,
P N- 1.
Entonces el área del polígono es
1
t;;
-
(Pp¡ , PP,
+
PP, ' PP
3
+ ...
+
PP N " PP N-¡)
2
P,
p
Fig.106
Poniendo PO(x",
Yo)
YPi ;
(X i, Yi)
para i ; 1,2, ..., N-J,
se puede demostrar que el área del polígono
es
1
(I'~o
6=-
2 Yo
x' l
IXN - ¡
+ ...
+
y,
YN-¡
.rol)
Yo
X¡I+IX¡
y¡
y¡
lo cual podemos poner en una forma más práctica
para el cálculo así:
X¡
y¡
y,
donde el arreglo de 2 renglones
y
N columnas que
aparece aquí es la SUffiJ de los N determinantes 2 x 2
que aparecen en la expresión anterior.
~jemplo
47J
Calcula r
el
área del cuadrilátero
mostrado en la Fig. 107.
D
B
Fig. 107
Tomemos como pivote
coordenadas) el punto
A.
Entonces,
t; = ~ 1 0
2 O
8
- 3
13
6
2
10
~I
(y
origen
; 0.5 [8 (6) - (-3) J3
-13( 10)-(;(2)1 ;
102.5
de
Veamos otra aplicación del producto externo.
W;emplo
4SJ
Para obtener
la
representación de un
vector
A
en unJ base vectorial arbitraria lu, vI, o sea
los números
A
y
}..l. en la
relación
podemos proceder (omo sigue:
Premultiplicando (e l ) en ambos miembros
externamente por u tenemos
u " A =A u " u + }..l. u " v
Usando u "
u
=
O
)'
despejando }..l. obtenemos
(e2)
Análogamente se calcu la
i\.
(Compare (el ) con la
ecuación
(42)-p40).
