Página 151 - Analisis de señales
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b)
En segundo lugar, calculamos la función de autocorrelación:
Rxx
(1,
t
+r)
=
E[X(I)X(I +T)J
=
E[A
cos(Wol
+
8)A
cos(Wo[1 +TJ
+
8)J
=
A'
E[cos(Wol
+
8) cos(Wo[1
+
tJ
+
8)J
Utilizando la identidad trigonométrica:
1
cos(a)cos(!3)
=
2 [cos(a
+13)+
cos(a - !3)J
la fun ción de autocorrelación queda:
Rxx
(1,1
+
t )
=
E[A
cos(wol
+
8)A
cos(Wo[1
+t
J
+
8)
I
A'
= -
E[cos(-W o t)
+
cos(2wol
+
Wo t
+
28)]
2
A'
A'
=
- E[cos(w o t )J
+ -
E[cos(2UJol
+
UJot
+
28)J
2
2
El segundo término es cero. Puesto que el valor p romedio de una
cosenoidal en un periodo comp leto es cero, no importa a qué fase inicie ni
a qué frecuencia oscile. El primer término no depende de la variable alea toria
8, así que su valor esperado es la cons tante misma. Finalmente tenemos la
expresión pa ra la función de autocorrelación siguiente:
Como el p roceso aleatorio
X(t)
cumple con las dos condiciones ante–
riores, se puede concluir que es estacionario en sentido amplio.
Se deja como ejercicio para el lector el mismo p roceso
X(t ),
pero ahora
la va riable a lea toria 8 varía en al rango
[-n,
nI ·
Propiedades de la j lll lcióll de al/tocorre/acióll
1. R.•
,lr)
~
R,,(O);
la función de autocorrelación tiene un va lor máx imo
en algún va lor de
t
2.
R.j-t )
=
RjT);
la función de autocorrelación es una fu nción pa r
3
R,•.(O)
=
E[X'(t)
I
4. Si
x( t )
es ergódico, con media cero
y
no tiene componentes periód i-
cas, se cump le lim
l • I __ R,, (t)
=
O
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