Página 149 - Analisis de señales
Versión de HTML Básico
X( I)=
Acos(wl
+
<1»
con
A
y
úl
constantes;
y
4>
una variable aleatoria con
función de densidad uniforme en el intervalo [0,
211].
Demostración: Si calculamos el valor esperado de
X( t),
se tiene que:
"-
2"
E[X(t)]
=
E[Acos(WI+<I»]
=
f
X(t)fx(x)dx=
f
Acos(wl+<I»d<l>=O=cte
o
Proceso aleatorio en sentido amplio
Un proceso aleatorio es estaciona rio de segundo orden si su función de
densidad de segundo orden satisfa ce la siguiente relación:
f , (x" x, ;lpl, )= !.(x"x, ;I,
+6, 1, +6) V 1, Y 1,
Si 6
= -
t"
entonces
f, (x" x, ;I" I, )
=
f, (x" x,;O,I,
-
1, )
=
f, (x" x,;O,
T)
siendo
~
=
t, - t,
(Y.97)
(V.98)
La ecuación Y.98 representa la función de densidad de probabilidad
estacionari a de orden 2. Podemos apreciar que dicha expresión está en fun–
ción únicamente de la diferencia de tiempos
t, -
t,.
Partiendo de la expre–
sión Y.98, podemos extraer las siguientes observaciones:
• El valor esperado de
E[X(t,)
X(t,)]
esta rá únicamente en función de
la diferencia de tiempos
t, -
1,
• La fu nción de au tocorrelación definida por la ecuación Y.99 está
únicamente en términos de la diferencia de tiempos
Rxx (t ,
, 1, )
=
E[(X(t , )X(t, » ]
=
E[X,X, ]
=
Rxx (t ,
-
1, )
=
Rxx
(T)
(Y.99)
Es deci r, si
~
=
t, -
1
l'
en tonces
R" (X ,, X, )
=
R,, (T)
=>
vá lido solo para
PA
estaciona rios de segundo orden.
Puede observa rse que
R" (t, , I, H) =[X(t , ), x(t ,
H )] = R,, (T)
Si un proceso aleatorio cumple con las dos cond iciones siguientes:
• E[x(I) ]
=
ete
• R", (t "
t ,)
=
R, (t"
1,+
r)
149
