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10 Capítulo 1. In t roducción
Otros ejemplos son la., famosas ecuac iones en derivadas parciales del calor, de onda
y de LaplaC'C'. qUE' tienen la forma
respectivamente, que han sido fuente inagotable de di ve rsos trabajos de investigación.
En nuestro caso nos rest ringiremos al estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
A continuación presentaremos algunos problemas que motivan el interés en el estud io de
estas ecuaciones.
EJEMPLO 1. ¿ Se pued e pred ecir la p oblación d e un país?
La sigu iente tabla muestra el número de millones de habitantes que había en toda la
República Mexicana. de acuerdo al censo del año que se indica.
Año
Población (millones de hab. )
Con base en los datos de la tabla y ubicándonos en el año de 1960, ¿se podría haber
hecho una estimación para la población de los años 1970 y 1980 ?
Solución. Una suposición razonable es que la rapidez de variación de la población con
respecto al t.iempo es proporcional a la población , es decir si P (t ) denota la población al
tiempo t entonces
dP
dt = exP,
donde ex es una constante positiva.
Así, para conocer la población en cualquier tiempo hay que resolver la ecuación
anterior. La solución es P (t) = eeot , Con e una constante arbitraria. Para determinar e
tenemos la condición inicial que en t = O (correspondiendo al año de 1950) la población
es 25.78 , de donde P (t ) = 25. 78e Qt
.
Para encontrar la constante de proporcionalidad podemos usar que P (lO) = 34.92.
En consecuencia
P (t) = 25.78eo.030346lt
Ahora para 1970 la población aproximada sería P(20), que dá por resul tado
P(20 ) = 47 .30.
La población para 1980 se estimará en P(30 ) '" 64.07.