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1.2. Ecuaciones Diferencia.les
y
J\llodeJos J\llatemáticos
Sustituimos este valor de
A
en
( 1.1~ ),
para obtener el valor de
B
o
o
=
B
Finalmente obtenemos
a
k
a - .l.:+ l
.,.-c--,---------,-
+
B
2(-Á
+
1)
o
+
o
+
B
2(- /;+1 ) 2(" + 1)
-a (Á
+
1)
+
a(1
-
k)
2(1 -
Á2)
2a"
2( 1 _ "2 )+ B
ok
1 -¡,.2·
0' (0
-
.c)- k+ l
y = -
2(1 - " )
(o
-
X )k+ l
ak
+
+--.
20k (l +k) l-k
2
19
( 1.15)
.
V
SI
v
p
>
v
q ,
k
=
--'!.
<
1 Y por tanto
- k
+
1
>
O. Evaluando (1. 15) en .'[
=
a
resulta
v
p
ak
Y = I-k
2 '
es decir, el corredor
p
alca¡,za a l corredor
q
en el punto
(o,
1
~\2 )'
Por supuesto, dependiendo de los valores de
a
y
k
se puede saber si
p
alcanza a
q
dentro de la cancha.
EJEMPLO
6 . ¿
Por qué un re loj de péndulo es impreciso?
Consideremos un modelo idealizado de reloj de péndulo , formado por una cuerda de
longitud 1 y un peso de masa m en su extremo, como se muestra en la figura 1.8.(a).
Inicialmente el peso se desvía un ángulo
<>
y luego se deja libre (ver figura 1.8.(b)).
Sea
O(t)
el ángulo en radianes a l tiempo
t
entre la cuerda y la posición vertical , de la
figura 1.8. (a) . Adoptamos la convención de que
O>
Ocuando la masa está a la derecha de
la posición de equilibrio y
O
<
Ocuando está a la izquierda, lo cual esencialment.e significa
que escogemos direcciones a lo largo del arco apuntando a la derecha como positivas y a
la izquierda como negativas.
La relación entre la longitud del arco
s
y el ángu lo
O
es s
=
10,
de donde
d
2
s
d
2
0
-=1-
dt
2
dt
2 .
(1.16)
Por otra parte la fuerza causante del movimiento es el peso
w
=
mg.
Esta fuerza se
descompone en sus component.es
FI
y
F 2
en la dirección de la tangente a la trayectoria y
