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26 Capít ulo 1. In troducción
Trataremos de explicar el signi ficado del t eorema a nterior media nte los siguientes dos
ejemplos.
EJEMPLO 6. Dellluestre que el problema de va lor inicial
t.iene solución única.
dy
d."
y(2)
= .<3 + y3,
- 1,
Solución. Aplicamos el t eorema 1.2.1. En primer lugar comprobaremos que se cumple
la hipó tesis. En este caso I (x, y) = x 3 + y3 Y ~~ (x. y) = 3y2 Ambas funciones I y
al/ay son cont inuas en todo rectángulo R del plano xv. La condición inicial y(2) = - 1
s ignifica que Xo = 2 Y Yo = - 1, además es claro que el punto (2, - 1) está contenido en el
interior de a lgún rect.ángulo R. Así que todas las hipótesis del teorema 1.2. 1 se satisfacen
y por lo tanto la conclusión se cumple; es decir , existe una sol ución única <{J de la ecuación
dy
diferencial - = x' + y3, defi nida en a lgún intervalo J con centro en Xo = 2, que satisface
dx
la condición in icia l, esto es, que es tal que <{J(2) = - 1.
EJEMPLO 7. Considere los dos problemas de valor inicia l
a) dy = J I _ y2
dx
b) ~~ = ~,
Aquí
y( 2) = O
I(x , y) = J I - y2 y 8f
ay
y
Estas fun ciones son continuas en el conjunto A de puntos del plano xy definido por
A = {(x,y)lxE IR,- l < Y < 1}.
En el problema (a), Xo = 2, Yo = O. El cuadrado R¡ de lado 1 con centro en el punto
(2, O) está contenido en el conjunto A, de modo que las funciones I y al/ay satisfacen
las hipótesis del teorema 1. 2.1 en R¡ . Dado que además el punto (2, O) está en el interior
de R¡ , la conclusión del teorema 1.2.1 se aplica al problema (a ) y sabemos que tiene una
solución única definida en a lgún intervalo alrededor de Xo = 2.
Veamos el problema (b). Ahora Xo = ,, / 2,Yo = 1. En est e punto al /ay no es continua.
Luego, el punto (,,/ 2, 1) no puede estar incluido en un rectángulo R donde las hipótesis
del teorema 1. 2.1 se satisfagan. Entonces no podemos concluir , del teorema 1.2.1 , que el