Página 26 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
24
Capítulo
1.
Introducción
Una solución de una ecuación diferencial en un intervalo
1
es cualquier función
defin ida en
1
que satisface a la ecuación, es decir , que al sust ituirla la reduce a una
identidad.
EJEMPLO
2. Comprobar que la fu nción
J(x)
=
e-
3
%
+
5 es solución de la ecuación
diferencia l dada en el intervalo
(-00,00).
y'
+
3y
=
15.
Solución. Es claro
J(x)
y
J' (x)
se defin en pa ra todo
x
en
IR.
Sustituyendo sus expresiones
en la ecuación d iferencial resulta
- 3e-
3
%
+
3(e -
3
%
+
5)
15
- 3e -
3
%
+
3e-
3
%
+
15
15
15
15.
La última identidad establece que efectivamente la función
J
es una solución de la
ecuación diferencia l en IR.
1
EJEMPLO
3 . Verifi car que la función
g(x)
=
- +x
es solución de la ecuación diferencial
x
dada en el intervalo
(0, 00).
11
2
2
Y
-
-y +
-
=
O.
X2
x
Solución. Sea
x
>
O. Deri vando
g(x)
obtenemos
g'(x)
=
- ~
+
1,
x
"() 2
9
x
=
3 '
x
Sust it uyendo
g(x)
y
g"(x)
en la ecuación diferencial se sigue que
~
-
~ (~
+
x)
+
~
=
O
x
3
X2
X
x
2
2
2
2
x
3
-x
3
-X-+X-
=
O
O
=
O.
Lo cual comprueba que
9
es una solución en
(0,00).
EJEMPLO
4. Sea c una constante arbitraria. P robar que la función definida por la
ecuación
xy2
-
y3
=
e, es solución de la ecuación diferencial
(2x
-
3y )y'
+
y
=
O.
Solución. Derivando implícitamente la igualdad
xy2
-
y3
=
e, con respecto a
x ,
se t iene
que
y2
+
2xyy'
-
3y2y'
=
O
y(y
+
2xy'
-
3yy')
O.
