Página 25 - Coordinación de Servicios de Información

1.2. Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales 23
Las ecuaciones anteriores modelan cierto fenómeno. La ec uación (1.22) es llamada
ecuación logística y describe el crecimiento de una población. Las ecuaciones (1.23) y
(1.24 ) corresponden al movimiento "rmónico simple y forzado amortiguado , respectiva–
mente, que estudiaremos en el capítulo 5. Las ecuaciones (1.25), (1.26) son las ecuaciones
del calor y de onda en una dimensión y finalmente , la ecuación (1.27) es la ecuación de
Laplace en dos dimensiones.
Se dice que una ecuación diferencial es ordinaria , si la fun ción incógnita depende de
una sola vari~ble. Si la fun ción incógnita depende de más de una variable, entonces la
ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Las ecuaciones (1.22), (1. 23) Y (1.2-1 ) son ordinarias, mient ras que las ecuaciones
(1. 25 ), (1. 26 ) Y (1. 27) son parciales.
En todo lo que sigue consideraremos únicamente ecuaciones diferenciales ordinarias)
por lo que en ocasiones omitiremos mencionar explícitamente que se trata de ecuaciones
de esta clase.
El o rden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparcce
en la ecuación.
Así, la ecuación (1.22) es de primer orden, las ecuaciones (1.23) y (1. 24 ) son de
segundo orden. Veamos otro ejemplo.
EJEMPLO 1. Determine el orden de la ecuación diferencial dada.
dP
a) di = ", p 2
d 2 q dq
b) 10 dt 2 + 100 dt + 500q = 127 sen 60t.
c) (6 x 109 ) ::~ = x.
d2y (d y )3 3
d) dx2 - dx = x-x.
Solución. La ecuación (a) es de primer orden, las ecuaciones (b) y (d) de segundo orden
y la ecuación (c) es de cuarto orden.
Simbólicamente , una ecuación diferencial ordinaria de orden n, puede expresarse en
la forma
F(x, y , y' , ... , y(n)) = O, (1.28)
donde F es una func ión de n + 2 variables. Para nuestros propósitos supondremos que
(1.28) también admite la representación
(n) _ f( ' .. , y(n-l)), y - X l YlY)· (1.29)
para alguna función f de n + 1 variables.