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1.2. Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales 27
problema (b) tenga una solución única. Con esto no afi rmamos que no tenga solución o
tenga varias; el teorema 1.2.1 simplemente no da información en un sent ido u otro. De
hecho puede verificarse con un cá lculo sencillo que las fun ciones
y,(x ) = senx y Y2 (X) = 1,
con :l: en [-1r / 2, 1r / 2[, son soluciones del problema (b), así que éste tiene al menos dos
soluciones definidas en el intervalo indicado.
Se llama soluc ión general de una ecuación diferencial de primer orden y' = ¡ (x, y ) a
la función y = ",(L . e) que depende de una constante arbit raria e y satisface las siguientes
condiciones:
l. Es solución de la ecuación diferencial para cualquier valor de c.
2. Dada una condición inicial a rbi t raria Y(LO) = Yo , siempre es posible determinar un
valor de e = Co tal que la función y = <p(x, col satisface la ecuación diferencia l y la
condición inicial. La fun ción y = <p(X, col se llama una solución particular.
Geométricamente la solución general y = <p(X , c) representa una familia de curvas en
el plano xy. Estas curvas se llaman curvas integrales . Si las cond iciones del teorema
de existencia y unicidad se satisfacen, estas curvas integrales no se intersectan.
EJEMPLO 8 . Muestre que la función
e
y =–
x' x> O,
donde c es una constante, es la solución general de la ecuación diferencial
, y
y = --o
x
(1.33)
(1.34)
Solución. En primer lugar , podemos ver que (l.33) es solución de (l.34 ) para todo c.
En efecto, deri vando (1.33 ) con respecto a x se obtiene
y sustituyendo en (l.34) resulta
lo cual es una ident idad.
C
X2
Además , haciendo x = Xo > OY Y = Yo en (l.33) , se sigue que
c
Yo =-,xo