Página 27 - Coordinación de Servicios de Información

1.2. Conceptos Básicos de Ecuaciones Diferenciales
En part icular
y + 2xy' - 3yy' = O
Y + (2x - 3y )y' O,
25
de donde se observa que la ecuación xy2 - y3 = c define una solución de la ecuación
diferencial para todo valor de c. En este caso se dice que la solución está en forma
implícita.
EJEMPLO 5. Determine si la función h(x ) = e- 3x es una solución en IR de la ecuación
diferencial: y" + 6y' + 9y = O.
Solución. Derivando dos veces la función h, tenemos que para x en IR
h' (x) = _ 3e- 3x , h"(x) = ge - 3x .
Sustituyendo en la euación diferencial encontramos que
ge- 3x + 6(_ 3e- 3X ) + ge- 3, O
O O.
Así, la función dada es una solución de la ecuación diferencial.
Un problema d e valores iniciales es aquél en el que se busca determinar una
solución a una ecuación diferencial, suj eta a condiciones sobre la función desconocida y
sus derivadas, dadas para un valor de la variable independiente. Tales condiciones se
llaman condiciones iniciales. En símbolos, un problema de valores iniciales de orden n ,
puede representarse por la ecuación (1. 29) suj eta a las n condiciones
( ) '( ) (n-I)( )_ y Xo = Yo, Y Xo = y¡, ... , y Xo - Yn - I '
En los capítulos 2 y 3 resolveremos algunos problemas de valor
orden, que en forma general pueden expresarse como
y' = f (x, y),
y (xo) = Yo·
(130)
inicial, de primer
(1.31)
(1.32)
Al encontrar un problema de este t ipo, es natural preguntarse si t iene solución y en
tal caso, si dicha solución es única. La respuesta a estas cuestiones viene dada por el
siguiente teorema.
Teorema 1.2.1 (Teorema de existencia y unicidad.) Sea R = [a, bl x [e, di un
rectángulo en el plano que contiene al punto (xo , Yo) en su interior. Si las func iones f y
[) f / By son continuas en R , entonces existe un intervalo 1 con centro en Xo y una func ión
única y(x) = <p(x) definida en 1 que satisfa ce el problema de valor inicial definido por
(1.31) y (l. 32) .