1.2. Ecuaciones Diferenciales
y
Modelos Matemáticos
17
y
, (a,v
q
t)
(x(t),y(t))
q
I
---- - -----
x
Figura 1.7: Posición de los jugadores al tiempo t
Usemos la figura 1. 7 para obtener la ecuación diferencial que decribe esta situación.
Se tiene que
donde
a,
es una constante.
dy
=
tan
e
=
vqt
-
y
dx
a-x '
(1.10)
Esta ecuación t iene tres variables
x ,
y
y
t ,
pero puede reducirse a una que contenga
solamente dos de ellas. Si observamos un tramo infinitesimal de la trayectoria de
p
tenemos
ds 2
dx2
+
dy2
(~:r
(~~r
+
(~~r
=
(~~r
+
(:~r (~~r
v 2
=
(~~r
[1
+
(:~r]
,
p
de donde
dt
JI
+
(~l'
(1.11 )
=
dx
vp
dt
Al derivar ambos lados de (1.10) con respecto a x, aparecerá
dx'
En efecto resulta
d 2 y
(a
-
x)(Vq~
-
~)
-
(vq t
-
y )( -1)
dx2
(a-xl'
=
(a-x)vq~
-
(a -
x)~
+
(vq t -y)
(a -
X)2
1...,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,...252