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12 Capítulo 1. In troducción
EJEMPLO 3. Espejos Parabólicos.
Supóngase que señales luminosas (o de algú n otro t ipo) viajan en el plano xy y
paralelamente al eje y , chocando con la curva cuya ecuación es y = ¡(x) y reflejándose
de tal manera que todas ellas concurren en el punto F(O, p) con p una constante positiva.
Véase la figura 1.2. Comprobar que la curva y = ¡(x) es una parábola y que además en
caso de que pase por (O. O) su ecuación es 4py = X2
y
y=l[x)
x
Figura 1.2: Señales luminosas
Solución. Escribiremos primeramente el problema en lenguaje matemático. Para un
punto cualquiera P(x, y) en la curva y = ¡ (x), la derivada es igual a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de ¡ en dicho punto , es decir
dy
- = tanO.
dx (13)
En la figura 1.3 se puede ver la configuración de la curva y = ¡ (x ), la recta tangente l,
en el punto P (x, y), el punto F (O, p) y los ángulos a y O. Esta configuración se obtuvo de
los principios básicos de la Geometría Euclideana y del hecho físico de que la magnitud del
ángu lo de incidencia es igual a la magnitud del ángulo reflejado. Del triángulo rectángulo
6 PQS se obtiene la igualdad
PS 1 1
tan O = QS = 92 = --
PS tana
y del triángulo rectángulo 6 PFV la igualdad
Recordando la identidad
y-p
tan tO- a) = --o
x
(
n ) tanO-tana
tan u - a = .,-----;:---
1 + tanOtana
(1.4)
(1.5)
(1.6)