Página 26 - Apuntes para la U.E.A. sistemas de control I

Traosformada inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace, es un proceso que consiste en encontrar la función del
tiempo f(t) a partir de la correspondiente transformada de Laplace F(s). Se dispone de varios
métodos para encontrar la transformada inversa de Laplace, el más simple de ellos consiste en
usar la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) para encontrar la función del tiempo f(t)
que le toca a una transformada de Laplace dada F(s); sin embargo hay transformadas de
Laplace complejas en las que no se puede encontrar su función del tiempo de manera sencilla,
por lo que se requiere utilizar el método de expansión de fracciones parciales.
- Método de expansión en fracciones parciales para enconrrar transformadas inversas de
Laplace.
Si F(s), la transformada de f(t), se separa en componentes
F(s) = Ft(s) + Fl(s) + ... + F.(s)
y si las transformadas inversas de Laplace de Ft(s), Fl(s), ..., FoCs) están fácilmente
disponibles, entonces
.:f-l (F(s)} = .:f-t (Ft(s)} + .:f- t (Fl(s)} + ... + .:f-I (F.(s)}
= ft(t) + fl(t) + ... + f.(t)
donde fl(t), fl(t), ..., fn(t) son las transformadas inversas de Laplace de F¡(s), Fl(s), ... , Fn(s),
respectivamente . La transformada inversa de Laplace de F(s) así obtenida es única, excepto
posiblemente en los puntos donde la función del tiempo es discontinua. Donde quiera que la
función del tiempo sea continua, la función del tiempo f(t) y su transformada de Laplace F(s)
tendrán correspondencia uno a uno.
En los problemas de análisis de sistemas, F(s) ocurre frecuentemente en la forma
F(s) = A(s)
B(s)
donde A(s) y B(s) son polinomios en s y el grado de A(s) no es mayor que el de B(s).
La ventaja del enfoque de la expansión en fracciones parciales es que los términos
individuales de F(s), resultantes de la expansión de fracciones parciales, son funciones muy
simples en s; en consecuencia, no es necesario consultar la tabla de transformadas de Laplace
si memorizamos varios pasos de transformadas de Laplace simples . Debe notarse, sin
embargo, que al aplicar la técnica de expansión en fracciones parciales en la búsqueda de la
transformada inversa de Laplace de F(s) = A(s)/B(s), las raíces del polinomio B(s) del
denominador deben conocerse por anticipado. Es decir, este método no se aplica hasta que el
polinomio del denominador haya sido factorizado.
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