210
Capítu lo
5.
Aplicaciones
de
las
Ecuaciones
Diferenciales
Lineales de
Segundo Orden
Es claro entonces que podemos aplicar todos los resul tados de la sección anterior al
est udio de un circui to LRC en serie.
EJEMPLO
1.
Un circui to en serie consta de un inductor de
0.25
H,
una resistencia de
40
0,
un capacitor de
4 x 10-
4
F Y
una fuerza electromotriz dada por
E (t )
=
5
sen
100t
V .
Si la corr iente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, determine la
carga en el capacitor y la corriente eléctrica del circuito para cualquier tiempo
t
>
O.
Solución.
Sustituyendo los valores de
L
=
0.25
H,
R
=
40
0,
e
=
4 x 10-
4
F Y
E (t )
=
5
sen
100t
V
en la ecuación diferencial
(5.40)
obtenemos
d
2
q
dq
1
(0 .25) dt
2
+
40
dt
+
4 x 10
4
q
=
5
sen
100t ,
o bien
d
2
q
dq
dt
2
+
160
dt
+
10000q
=
20
sen
100t.
(5.42)
La ecuación auxiliar de
(5.42)
es
r
2
+
160r
+
10000
=
O, cuyas raíces son
r,
=
-80
+
60i
y
r 2
=
-80 - 60i .
Luego
Adicionalmente, empleando el método de coeficienes indeterminados encontramos que
una solución particula r de
(5 .42)
es
En consecuencia, la solución general de
(5.42)
es
1
q(t)
=
e-
80
' (
e,
cos
60t
+
e2
sen
60t )
-
800
cos
100t .
De las condiciones iniciales
q(O)
=
OY
q'(O)
=
Ose sigue que
I
e, - 800
=
O,
y
-80e,
+
60e2
=
O,
respectivamente. A pa rtir de est as ecuaciones encontramos que
y
Por consiguiente, la carga en el capacitor es
1
l>2
=
600 '
1...,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211 213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,...252