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Capítulo
5. Aplicaciones de
las
Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Segundo
Orden
Sustituyendo en (5 .34 ), se sigue que
(8 A
+
8B )
cos
2t
+
(8 B
-
8A )
sen 2t
=
80 sen
2t.
El sistema de ecuaciones resultante
8A +8B
O,
- 8A
+
8B
80 ,
conduce a los valores
A
=
- 5 y
B
=
5. Así que
x(t )
=
e-
2t
(c¡
cos 2V2 t
+
C2
sen 2V2 t)
+
5( sen 2t - cos
2t).
Empleando las condiciones iniciales
x(O)
=
O
y
x'(O)
=
O
encontramos que c¡
=
5 Y
C2
=
O.
Por lo tanto
x(t)
=
5e-
2
tcos 2V2t
+
5( sen2t
-
cos 2t ).
Obsérvese que en el ejemplo anterior la solución complementaria
xc(t )
=
5e-
2t
cos2V2t
t iene la propiedad de que
lim
xc (t )
=
O,
t-oo
por lo cual se dice que
xc(t)
es un término transitorio o una solución transitoria.
Así pa ra valores grandes de
t ,
x(t )
se aproxima a
xp (t ).
A
xp (t )
se le llama solución
estacionaria o d e estado permanente. Ver figura 5.13.
.,
,
,
,
,
10.'
,
-- -----. Solución estacionaria
-- Solución
completa
"
,.,
Figura 5.13: Solución del ejemplo 1
De hecho, si en la ecuación diferencial (5.33) ponemos
F(t)
=
Fa
sen
at
o
F(t )
=
Fa
cos
at ,
donde
Fa
y
a
son constantes , entonces su solución general consiste en la suma
de dos términos:
término transitorio más término
estacionario.
1...,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203 205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,...252