Página 200 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
198
Capítulo
5.
Aplicaciones
de
las Ecuaciones Diferenciales Lineales
de
Segundo Orden
a) Obtenga la ecuación del movimiento si el peso se suelta desde un punto que se
encuentra 1/ 2 ft abajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia
abajo de 1 ft/s.
b) Encuentre los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio
en dirección hacia abajo.
c) Grafique la ecuación del movimient.,:· .
Solución.
a) De la ley de Hooke es claro que
k
=
10
lb
=
5
lb .
2
ft
ft
Además
8
lb
1
m
=
32
ft/s2
=
'4
slug
y
fJ
=
1,
así que la ecuación diferencial del movimiento es
d
2
x
dx
dt
2
+
4dt
+
20x
=
O.
Resolviendo
(5.30)
suj eta a las condiciones iniciales
x(O)
1/ 2 ft
y
x'(O)
obtenemos
1
x(t )
=
2'e- 2 '(cos4t
+
sen4t).
b) Escibimos primero la solución
(5.31)
en la forma alternativa. Tenemos que
De modo que
A
1f
<p
=
arctan
1
=
4'
x(t)
=
~e-2' sen
(4t
+
~J.
por lo cual
x(t)
=
O
si y sólo si
Por lo tanto, los valores
1f
4t
+
4
=
n1f ,
n
EN.
1f
1f
t
=
n-
-–
n
4
16'
(5.30)
1
ft /s,
(5. 31 )
con
n
un entero positivo par , son los instantes en los que el cuerpo pasa por la posición
de equilibrio moviéndose hacia abajo.
c)La gráfica se muestra en la figura 5.12.
