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5.3. Movimiento Vibratorio Forzado
203
5.3.1 Resonancia
Estudiaremos la ecuación (5.33) en el caso especial en que
F (
t)
=
Fo
sen
ert,
t
2:
O, donde
Fo
Y
er
son constantes positivas. La ecuación diferencial básica es
(5.35)
donde
2A
=
f!/m
y
w
2
=
k /m.
Supondremos que
(3
es suficientemente pequeño de modo que el amortiguamiento es
menor que el crítico. En otras palabras, consideraremos que
A
<
w.
Luego, la solución
complementaria de (5.35) t iene la forma
xc(t)
=
e->"(c¡ cos
Jw
2
-
A
2
t
+
C2 sen
Jw
2
-
A
2
t) ,
con C¡ y C2 constantes arbitrarias, que dependen de las cond iciones iniciales, o equivalen-
temente
Xc(t)
=
Ae->.t
sen
(Jw
2
-
A
2
t
+
q,),
donde
A
=
Jc;
+
c~,
sen </>
=
c¡/A
y
cosq,
=
cdA.
Ahora determinaremos una solución particular de (5.35), utilizando el método de los
coeficientes indeterminados. Sea
Xp(t)
=
B
cos
ert
+
C
sen
ert.
Entonces
X~(t)
-erB
sen
ert
+
erC
cos
ert,
x~(t)
_er
2
B
cos
ert - er
2
C
sen
ert .
Sustituyendo
xp(t),
x~(t)
y
x~(t)
en (5.35) se obtiene
(_er
2
B
+
2AerC
+
w
2
B )
cos
ert
+
[(w
2
-
er
2
)C -
2erAB]
sen
ert
=
Fo
sen
erl
Igualando los coeficientes en la última igualdad , resulta el sistema de ecuaciones
cuya solución es
(w
2
-
er
2
)B
+
2AerC
O,
-2erAB
+
(w
2
-
er')C
=
Fo,
B
=
C
=
2erAFo
(w'
-
er
2
)2
+
4er'A"
(w
2
-
er
2
)Fo
