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206
Capít ulo
5.
Aplicaciones
de
las
Ecuaciones
Diferenciales Lineales
de
Segundo Orden
EJEMPLO
2 . Un peso de 4 lb se suspende de un resorte cuya constante es de
k
=
8
lb/ ft. Suponga que una fuerza externa dada por
/(t)
=
4 cos
8t
se aplica al resorte y que
no hay amortiguamiento. Descri ba el movimiento que resul ta si se asume que inicialmente
el peso está en la posición de equilibrio y que su velocidad inicial es cero.
Solución. La ecuación diferencial del movimiento es
Equivalentemente
4
d
2
x
-- =
-8x
+
4 cos
8t
32 dt
2
.
d
2
x
dt
2
+
64x
=
32 cos
8t.
La solución complementaria de (5.37) es
x
c (
t )
=
Cl
cos
8t
+
C2
sen
8t.
Proponemos una solución particular de la forma
xp(t)
=
t( A cos8t
+
B sen 8t).
Sustituyendo en (5 .37) se encuentra que
A
=
Oy
B
=
2. Así que
x(t)
=
Cl
cos8t
+
c2sen 8t
+
2t
sen
8t.
(5. 37)
De las condiciones iniciales
x(O)
=
OY
x'(O)
=
Oencontramos que
Cl
=
OY
C2
=
O. Por
consiguiente la ecuación del movimiento es
x(t)
=
2t
sen
8t.
Su gráfica se muestra en la figura 5.14.
Se observa que en este caso hay resonancia pura en vista de que
(J
=
Oy la frecuencia
de la fuerza externa aplicada es igual a la frecuencia natural del sistema no amortiguado.
