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5.3. f'vlovimiento Vibratorio Forzado 201
5.3 Movimiento Vibratorio Forzado
En las dos secciones anteriores estudiamos el problema de un resorte donde sólo se con–
sideraron las fuerzas restauréldora y amortiguadora. Veremos ahora casos dónde' actúan
otras fuerzas externas que varíall con el tiempo. Dichas fuerzas pueden ocurrir , por rjem–
plo , cuando el soporte que sostiene al resorte se mueve verticalment.e ele cierta ¡W11l('r a
dada, tal como en un movimiento periód ico o cuando al peso se le da Ull pequeüo ('l1l P lljP
cada vez que alcanza la posición más baja.
Denotemos con J (t ) la fu erza exter ior que act úa sobre la masa. De la segunda Iry de
Newton, la ecuación diferencial del movimiento es
d'x dx
m- = - kx - (3- + J(t )
dt' dt' (5.32 )
o bien
d' x dx .,
- + 2>'- + w x = P(t ) (5. 3:3)
dt' dt '
donde 2A = (3/m ,w' = k/ m y F(t ) = J (t )/m.
Para resolver la ecuación no homogénea (5. 33) podemos emplea r el método de los
coefi cientes indeterminados o el de variación de parámetros , según sea más convenie¡¡( c.
EJEMPLO 1. Un resorte vertical con constante de 6 Ib / fl tiene suspcnd ida una lIIasa
de 1/ 2 slug. Se aplica una fuerza externa dada por J(t) = 40 son21. 1 2: !l. Supóngase que
actúa una fuerza arnort igl 'adora numéricamente igual a dos veces la veloc idad in~ t a ll uí nc<:l
y que inicia lmente el cuerpo está en reposo en su posición de equilibrio. Deterllline la
posición del cuerpo en cualquier t iempo t > O.
Solución . Con los valores de k = 6 Ib/ rt , m = 1/ 2 slug y ¡3 = 2, la cetwción difercucia l
de movimiento resultante es
(5.34 )
La solución complementaria de (5.34 ) es
Usando el método de los coefi cientes indeterminados proponen lOS una solución part icular
de (534) de la forma
En tal caso
Xp (t ) = A cos 21. + B sen 2t .
X~(t ) = -2A sen 2t + 2B cos 2t ,
x ~ (t) = - 4Acos2t - 4Bsen2t .