5.2.
Movimiento
Vibratorio Amortiguado
193
Por otra parte, la gráfi ca de
x(t)
es tangelltc a las curvas expollencia les
J' ,
(1)
=
Ae-
M
,x2(1)
=
_ Ae-
At
en los valores de
1,
tales que
sen
(vw
2
-
),21
+
1»
=
± l.
Resolviendo esta ecuación encontramos las soluciones
t
=
t¡ ,
dadas por
con
k
en N.
ti.
=
-,--(2_kl+=il-F)7r~/7'2
,---,-1>
vw
2
-),2
EJEMPLO
1.
Se encontró experimentalmente que un cuerpo de
4
lb estira un resorte
6
pulgadas. El medio ofrece una resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igua l
a
2.5
veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se
desplaza
4
pu lgadas por debajo de la posición de equilibrio
y
se suelta.
Solución. La ecuación diferencia l del movimiento es
o equi valentemente
Las condiciolles iniciales son
4
d 2x
dx
-- =
- 8x
-
2.5 -
32
dt
2
dt
d
2x
dx
dt
2
+
20
dt
+
64 x
=
O.
1
x(O)
= -
3 '
x'(O)
=
O.
(5 .21)
La ecuación auxili ar de
(5. 21)
es ,.2
+
20T
+
64
=
OY
sus raíces son
T,
=
- 4,
"2
=
- 16,
de modo que
x(t)
=
cle-
4t
+
C2e-16'.
La condición
.e(O)
=
1/ 3
implica que
en tanto que
x'(O)
=
Onos lleva a
1
c, +c
2
=3'
- 4c,
-
16c2
=
O.
[l.csolvÍ<· nt! o ('1 sist,clna
(5.22 )-(5 .23 )
obt.enemos los valores
4
el
=
g'
(5.22 )
(5. 23 )
1...,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194 196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,...252