Página 185 - Coordinación de Servicios de Información

5. 1. Movimiento Armónico Simple
d) El periodo y la frecuencia son
T = 21f = ~
8 4 '
183
f = ~
1f
Claramente, la amplitud es de 1/ 24 ft . La solución muestra que una vez que el sistema se
pone en movimiento, permanece en tal estado con la masa desplazándose alternadamente
1/ 24 ft hacia cada lado de la posición de equilibrio x = O. La gráfica se muestra en la
figura 5.2.
EJEMPLO 2. Suponga que en el ejemplo anterior la masa se desplaza 3 pulgadas por
debajo de la posición de equilibrio y luego se le da una velocidad hacia abajo de 4 pulg/s.
Determine la ecuación de movimiento.
Solución. Como antes
x(t) = c) cos 8t + C2 sen 8t ,
pero ahora , las condiciones iniciales son
1
x(O) = 4' x'(O) = ~ .
La condición x(O) = 1/ 4 exige de inmediato que c) = 1/ 4, en tanto que usando x'(O) =
1/ 3 se obtiene C2 = 1/ 24 . Así que, la solución es
1 1
x(t ) = 4cos 8t + 24 sen 8t. (5.5)
Cuando c) # OY C2 # Oen (5 .3), como en el ejemplo 2, la amplitud real A de las
oscilaciones libres no se obt iene en forma inmediata. Para este caso hacemos uso del
siguiente resultado .
Proposición 5.1.1 (Forma Alternativa de la Solución)
Si x(t ) = e ) coswt + e2 sen wt , con c) # O Y C2 # O, es convenient e escribir la solución
x(t ) en la f orma más simple
x(t ) = Asen (w t + </»,
donde la amplitud A está dada por
A =Jci+ cj
y </> es un ángulo de fas e definido por las relaciones
c)
sen </> = A y
(5.6)
(5.7)
(5.8)