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174
Capít ulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
donde
y¡
Y
Y2
son dos soluciones I.i . de la ecuación diferencial homogénea asociada, y
U¡ , U2
son dos funciones a determinar de modo que (4.81) sea una solución de (4. 80) y
satisfagan una condición arbitraria, pero seleccionada de tal forma que se simplifiquen
los cálculos.
Deri vando (4.81) se t iene que
I
I
I
I
I
Y
p
=
U¡Y¡
+
u¡Y¡
+
U2Y2
+
U2Y2
(u¡y;
+
U2Y;)
+
(u;y¡
+
U;Y2)
Podemos simplifi car esta expresión, imponiendo a
U¡
y
U2
la cond ición de que
En tal caso
y por consiguiente
Y~
=
u'¡y;
+
U1Y;'
+
u;y;
+
U2Y~·
Sustituyendo las expresiones de
YP'
y~, Y~
en (4.80), y usando el hecho de que
Y¡
Y
Y2
son soluciones de la ecuación diferencial homogénea, resul ta
f
I
11' I
fI
+ ( '+ ') (
)
u¡Y¡
+
u¡Y¡
+
u 2Y2
+
U2Y2
P
u¡Y¡ U2Y2
+
q U¡Y¡
+
U2Y2
U¡
(y~
+
PY;
+
qy¡)
+
U2(Y~
+
py;
+
qY2)
+
u'¡ y;
+
u;y;
=
I
I
"
u¡y¡
+
u 2Y2
g(x)
g(x)
g(x).
Así, buscamos una solución particular de la forma (4. 81), con
U¡, U2
funciones que
satisfacen las ecuaciones
o,
g(x).
(4.82)
(4.83)
Es fácil resolver el sistema de ecuaciones (4. 82)-( 4.83) para las incognitas
u;
y
u;,
empleando la regla de Cramer. Obtenemos
Y2(X)g(X)
W (x) ,
'(
)_ y¡ (x )g(x )
U2 X
-
W (x )
(4.84)
donde
W (x)
denota al wronskiano
W (Y¡,Y2)(X ).
Finalmente, integrando las expresiones
(4.84) resulta
( ) -
_ j Y2(x) g(x) d
U¡ x
-
W (x)
x,
( ) -
j y¡(x)g(x )d
U2 x
-
W (x)
x.
(4.85 )
Sust ituyendo (4.85 ) en (4.81) se obtiene la solución particular deseada.
