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4.7. Método de Coefi cien tes Indeterminados: Operador Anulador 169
Las raíces de la ecuación característica de (4.74) son ±2i de mul tiplicidad tres, por lo
que
y = k¡ cos2x + k, sen 2x + x(k 3 cos2x + k, sen 2x) + x'(k5 cos 2x + k6 sen2x).
Luego , buscamos una solución particular de la forma
yP = x(Acos2x + B sen 2x) + x'(C cos 2x + Esen 2x).
Tenemos que
y~ (Acos 2x + B sen 2x) + 2x (- A sen 2x + B cos 2x) + 2x(C cos2x + Esen 2x)
+2x'(-Csen2x + E cos 2x),
y~ 4( - A sen 2x + B cos 2x) - 4x(A cos 2x + B sen 2x) + 2(Ccos 2x + Esen 2x)
+8x( -Csen 2x + Ecos 2x ) - 4x'(C cos 2x + E sen 2x).
Sustituyendo en (4.72 ), resulta
(4B + 2C) cos 2x + (2E - 4A ) sen 2x - 8Cx sen 2x + 8Ex cos 2x = 3x cos 2,· + sen 2.1;.
Igualando coefi cientes, se obtiene el sistema de ecuaciones
4B + 2C 0,
2E - 4A = 1,
-8C 0,
8E 3,
de donde se sigue que A = - 1~ ' B = 0, C = 0, E = ~. Por lo tanto la solución general
de (472) es
1 3
Y = C¡ cos 2x + c, sen 2x - 16xCOS 2x + Sx' sen 2x .
EJEMPLO 8 . Determine la forma de una solución part icu lar de
y" + 6y' + 13y = xe- 3x sen 2x + x'e-'< sen 3x + 6. (4 .75 )
So lución . La ecuación característica de la ecuación diferencial homogénea asociada a
(4.75) es r' + 6r + 13 = 0, cuyas raíces son -3 ± 2i. En consecuencia
y, = e- 3X (c¡ cos 2x + c, sen 2x ).
Ahora bien, tenemos que (D'+6D+l3 )'(xe- 3x sen 2x) = 0, (D'+4 D+l3)3(x'e-'< sen 3x ) = °y D(6 ) = 0, por lo cual el operador anulador de g(x ) = xe- 3x sen 2x + x'e-'x sen 3x + 6
es
P¡(D ) = (D' + 6D + 13 )'(D' + 4D + 13)3D .