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Capít ulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales
de
Segundo Orden
Al aplicar P l
(D )
a (4.75) resulta
D(D 2
+
4D
+
13)3(D'
+
6D
+
13)3
y
=
O
(4. 76)
Puesto que las raíces de la ecuación característica de (4.76) son - 3
±
2i , - 2
±
3i
y
Ode
mult iplicidad tres, t res
y
uno, respectivamente. Concluimos que
y
=
e- 3Z(klCOs 2x + k2sen2x)+xe-3x(k3COs 2x + k,sen 2x)
+x 2e- 3x (k
5
cos
2x
+
k6
sen
2x)
+
e- 2X (k
7
cos3x
+
ks sen
3x )
xe- 2Z(kgcos3x
+
klO sen
3.x)
+
x 2e- 2X
(k
ll
cos3x
+
k l2 sen 3x)
+
k l3 .
Por lo tanto se puede encontrar una solución particular de (4.75) que t iene la forma
yp
=
xe- 3X( A cos2x
+
B
sen
2x ) +x 2e- 3X(Ccos2x
+
Esen2x)
+ e- 2X
(F
cos
3x
+
G sen
3x )
+
xe- 2X
(H
cos
3x
+
J
sen
3x)
+ x 2e- 2x
(J
cos3x
+
J(
sen
3x)
+
L .
EJEMPLO
9. Determinar la forma de una solución particular de
y'"
-
5y"
+
y'
-
5y
=
X2
-
3
+
x
3
é
x
-
3xsen x.
Solución. La ecuación característica de la ecuación homogénea asociada es
r
3
-
5r
2
+
r -
5
=
O
o bien
(r
2
+
l )(r - 5)
=
O.
De modo que
y,
=
Cl cosx
+
C2sen x
+
C3é'.
La ecuación diferencial (4.77) puede escribirse como
(D 2
+
l )(D -
5)y
=
X2
-
3
+
x
3
e 5x
-
3xsenx .
El operador anulador de la función en el lado derecho de (4.77) es
Aplicando
Pl(D)
a (4.78) obtenemos
(4.77)
(478)
(4.79)
1...,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171 173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,...252