Página 164 - Coordinación de Servicios de Información
Versión de HTML Básico
162
Capít ulo 4. Ecuaciones
Diferenciales Lineales
de
Segundo Orden
4.7.2 Método de los Coeficientes Inde terminados
Consideremos la ecuación diferencial no homogénea
P(D)y
=
g(x),
(4.53)
donde
P(D)
=
anDn+an_,D n - '
+ ..
+a,D+ao
es un operador diferencial con coeficientes
constantes
y
g(x)
es
a) un polinomio en
x ,
b)
una función
exponencial
e
Olx
I
c) sen
{Jx,
cos
(Jx
ó
d) sumas fin itas
y
productos de las funciones mencionadas en (a), (b)
y
(c).
En este caso siempre es posible encontrar el operador anulador
P,(D)
de
g(x ).
Apli–
cando
P,(D)
a (4.53) resulta
P,(D)P(D)y
=
P,(D)g(x)
=
O
(4.54)
Resolviendo la ecuación diferencial homogénea (4.54 ) es posible descubrir la forma de
una solución particular
YP
de la ecuación diferencial no homogénea (4.53). Los siguientes
ejemplos esclarecerán el procedimiento a seguir.
EJEMPLO
1.
Resolver
y"
-
2y'
+
Y
=
X2
+
4x.
(4.55 )
Solución. Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada
y"
-
2y'
+
Y
=
O.
De la ecuación característica
r
2
-
2r
+
1
=
(r
-
1)2, se obtiene la solución complementaria
Yc
=
(c,
+
c2 x )e
x
.
Ahora bien, el operador anulador de la función
g(x)
=
X2
+
4x
que figura en el lado
derecho de la ecuación diferencial (4.55 ) es
P, (D )
=
D
3
;
es decir
D
3
(x
2
+
4x)
=
O.
Aplicando
P,(D)
=
D
3
a (4.55), obtenemos la ecuación homogénea
D
3
(D
2
-
2D
+
1)y
=
D
3
(X
2
+
4x)
=
O.
La ecuación característica de (4.56) es
r
3
(r
2
_
2r
+
1)
=
O
(4.56)
