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154
Capítulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Solución. Primeramente nótese que la écuación auxiliar de la ecuación homogénea es
(2r
+
1)2
=
O,
de modo que su solución general es
Como
- 1/ 2
es una raíz doble de la ecuación auxiliar, y en consecuencia
A e- z / 2 , Axe- z / 2
son soluciones de la ecuación homogénea para cualquier constante
A,
proponemos una
solución part icular de la forma
según se vió en el caso Il-(c). Luego
,
Y
p
"
Y~
Sustituyendo en (4.43) resul ta
4(
~x2e- z/2
_
2Axe- z / 2
+
2Ae- z / 2 )
+
4(
_~x2e-Z/2
+
2Axe- z / 2 )
+
Ax 2 e- z / 2
=
e- z / 2
4
2
1
Por lo tanto
A
=
8'
(A x 2
-
8A x
+
8A
-
2Ax2
+
8Ax
+
A x2)e- z / 2
=
e- z / 2
8Ae-z/2
=
e- z / 2
8A
=
1.
y la solución general de (4.43) es
EJEMPLO
8 . Resolver
y"
+
25y
=
10 sen
5x .
(4.44)
Solución. Las raÍCes de la ecuación auxiliar son ±5i, así que
