4.6. lVlétodo
de
Coeficientes i ndeterminados: Superposición
149
a. l ) Si
(Ji
no es una raíz de la ecuación auxiliar, buscamos una solución de la forma
Yp(.r )
=
A
cos
{Jx
+
B
sen
(J.,
b.1) Si
(Ji
es una raíz de la ecuación auxiliar , proponenlOs
Yp(x)
=
:r (A cos{Jx
+
E sen {Jo).
Finalmente enfatizamos que las formas propuestas (4.34 )
y
(4.35 ), para la solución
particular, también son válidas cuando
P (x)
=
O o
Q(x )
=
O y en el caso particu lar
cuando
a
=
Oo
b
=
O.
EJEMPLO
1.
Resolver
y"
+
3y'
+
2y
=
3x2 - X
+
1.
(4.36)
Solución. De acuerdo con (4.10), la solución genera l de (4.36 ) tiene la forma
y
=
Ye" VP '
donde
Ye
es la solución general de la ecuación homogénca
y"
+
3y'
+
2y
=
O,
(-137 )
y
YP
es una solución particular de (4.36). La ecu"ción auxiliar de
(4.37)
es
,,2 + 3,, + 2
=
O,
cuyas raíces son
"1
=
- 1 Y
" 2
=
- 2. Luego
Por otra parte, proponemos una solución particular de la forma
Vp(x)
=
Ax2
+
E x
+
C,
ya que el lado derecho de (4.36) es un polinomio de grado 2 y Ono es raíz característica.
Tenenemos que
y~
=
E
+
2Ax,
Y~
=
2A
Ysustit uyeIido en
(4.36),
resulta
2A
+
3(2Ax
+
E )
+
2(Ax'
+
E x
+
e)
2A
+
(6 A
+
2E )x
+
2A
+
3B
+ 2C
31: 2 -
.1'
+
1
3x2 -
J'
+
1.
Comparando coeficientes en la últ ima igualdad obtenemos
el
sislcm" de ecuaciones linea–
les
del cual se sigue que
2A
3
6A + 2B
- 1
2A + 3B + 2C
1,
A = ~
2 '
B
=
- 5,
13
C =- .
2
1...,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150 152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,...252