Página 142 - Coordinación de Servicios de Información

140 Capítulo 4. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Definición 4 .5.2 Sean f¡, 12,···, fn , funciones que tienen al menos n - 1 derivadas en
un intervalo abierto J . Para x en J , el wronskiano de dichas fun ciones se define como
el determinante
VV (f" f 2,'" , fn)( x) =
h(x)
. f 2(x)
fn(x)
f~(x)
Definición 4.5.3 Se dice que una ecuación diferencial de orden n es lineal si tiene la
forma
an(x)y(n)(x) + an_,(x)y(n-' )(x) + ... + a,(x)y'(x) + ao(x)y(x) = g(x), (4.20)
donde las funciones ao(x),a,(x), ... ,an(x) y g(x) dependen solamente de la variable x.
Como antes, la ecuación (4.20) es no homogénea si g(x) # OY haciendo g(x) = O
obtenemos la ecuación homogénea reducida o complementaria
an(x)y(nl(x) + an_,(x)y(n-')(x) + ... + a,(x)y'(x) + ao(x)y(x) = O. (4.21)
Teorema 4.5.1 Sean y" Y2, ... , Yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación
homogénea (4.21) en un intervalo J , esto es, y" Y2, ... ,Yn son l. i. en J o equivalentemente
VV (y',Y2,' " ,Yn)(XO) # O para algún Xo E J . Entonces la solución general de (4.21) está
dada por
y(x) = c,y,(x) + C2Y2(X) + ... + cnYn(x), x E J ,
donde el, C2"" 1 en son constantes arbitrarias.
Teorema 4.5.2 Seayp una solución dada de la ecuación diferencial no homogénea (4.20)
en el intervalo J y sea
la solución general de la ecuación homogénea asociada (4.21) en el intervalo J . Entonces
la solución general de (4.20) es
y(x) = c,y,(x) + C2Y2(X) + ... + CnYn(x) + yp(x) = y,(x) + yp(x).
4.5.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n Homogéneas
con Coeficientes Constantes
En la sección 4.4 estudiamos como resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes. Ahora, de manera más general, considerare–
mos la ecuación diferencial de orden n
(4.22)