4.3. Ecuaciones Diferencia,les
de
Segundo
Orden
COIl
Coeficientes COIl sti:lntes
137
Por lo tanto , dos soluciones linealmente independientes son
Yl(X)
=
e-
T
cos4x ,
de donde, la solución general es
EJEMPLO
6. Resolver
y"
+
y'
+
y
=
O.
Solución.
La ecuación auxiliar es
,.2
+ ,. +
1
=
O,
cuyas raíces son
1
vÍ3 .
1'2
= -- --,
2
2 '
De donde, dos soluciones linea lmente independientes son
Por lo tanto , la solución general es
_1
(vÍ3
vÍ3 )
y(x)
=
e " Cl COS
TX
+
C2 sen
TX .
EJEMPLO
7.
Resuelva la ecuación diferencial
y"
+
y
=
O,
sujeta a las condiciones iniciales
y(O )
=
1,
y'(O)
=
- 1.
Solución .
.
La ecuación característica es,.2
+
1 Y
sus ra íces son
r
=
±i.
Luego, la solución
general de la ecuación diferencial es
y(X)
=
Cl
cosx
+
c2sen x.
Ahora, la primera condición inicia l implica que
1
=
y(O)
=
Cl,
el
=
1.
1...,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138 140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,...252