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4.3. Método de Reducción de Orden
Sustituyendo en (4. 16) resul ta
x
2
6x-
4
-
7x( - 2x-
3 )
-
20x-
2
O
6x -
2
+
14x-
2
-
20x -
2
=
O
O
=
O.
Así, efectivamente
Yl
es una solución de (4.16).
131
Ahora utilizaremos el resultado (4. 15) del teorema anterior para determinar una se–
gunda solución de la ecuación diferencial,
l.i.
con
Yl .
Primero, reescribimos (4.16) en la forma
" 7 , 20
Y
-
-y
-
-y
=
O
X
X2
de aquí que en este caso
p(
x)
= -
~
y entonces
x
Por 10 tanto
J
e-
J
p(x )dx
_
2( )
dx -
Yl
X
-
J
_ldx
7lnx
J
e
(X-2)2
dx
=
J
ex _
4
dx
J
x'
J
Xl2
-dx
=
xlldx
= -.
x-
4
12
Xl2
x
lO
Y2(X)
=
x -
2
12
=
12·
Note que una segunda solución l.i . con
Yl(X)
es simplemente
lh(x)
=
x
lO
De modo
que la solución general en
(0,00)
de la ecuación diferencial (4. 16) es
EJEMPLO
2. Encuentre la solución general en
(0,00)
de la ecuación diferencial
(4 17)
si
Yl
(x)
=
cos In
x,
es una solución de la ecuación.
Solución. Nuevamente emplearemos (4.15) para obtener una segunda solución
Y2
de
I
(4. 17). En este caso
p(x )
= -,
por lo cual
x
J
e-
J
p(x )dx
_
2()
dx -
Yl
X
J
e-
J
~dx
-~-dx
cos
2
1n
x
1
J
}l
dx
=
tanln x.
cos
n x
