4.5. Ecuaciones Diferencia.les Linea.les de Orden n
141
donde
a0
1
al
1 •• . 1
a
n
son números reales.
Es fácil ver que una fu nción exponencial de la forma
es solución de (4.22) si y sólo si
l'
es una raíz de la ecuación
(4.23 )
A
(4.23 ) se le llama ecua ción a ux ilia r o ec ua ción caracte rís tica de la ecuación
diferencial (4 .22 ).
No podemos hacer un análisis general de las raíces de la ecuación auxiliar (4.23)
semejante al que hicimos para las ecuaciónes de orden 2, ya que pueden aparecer muchas
combinaciones si
n
es mayor que dos. Por ejemplo una ecuación de quinto grado puede
tener cinco ra íces reales d iferentes, t res raíces reales diferentes y dos raíces complejas,
una raíz real
y
cuatro complejas
1
ci nco raíces reales e iguales
1
cinco raíces reales con tres
de ellas iguales, y así sucesivamente. En su lugar mencionaremos los siguientes t res casos.
CASO
1.
Si todas las raÍCes de (4.23),
1' , ,1'2, ... ,T
o ,
son reales y distintas entonces la
solución genera l de (4 .22) es
CASO 2. Si
1',
es una ra íz de mult iplicidad
k
de (4.23), es decir
k
raíces son iguales a
r"
entonces correspondiendo a esta raíz se t ienen las siguientes
k
soluciones l.i . de (4.22 )
y la. solución general de (4.22) debe contener la combinación lineal
CASO
3,
Cuando
1',
=
C>
+
i/3 es una ra.Íz compleja de multiplicidacl
le
de
(4.23 ),
su
conj ugado
1'2
=
o-i/3 es también raíz de multiplicidad
k .
En este caso , la solución general
de la ecuación diferencial (4.22 ) debe contener una combinación lineal de las siguientes
2k
soluciones l. i.
e
UX
sen
(3x
1
xeo
x
sen
(3x
1
2,2
eox
sen
{3x
1 ..• 1
X k - 1
eÚ.r sen
(3x.
EJEMPLO
1.
Resolver
y{4)
_
y'"
_
7y"
+
y'
+
6y
=
O.
(4.24 )
1...,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142 144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,...252