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142
Capítulo
4.
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Soluc ión.
La ecuación auxi liar de (4.24) es
r 4
-
r 3
-
7r
2
+
r
+
6
O
(r
-
l )(r
+
l )(r
+
2)(r
-
3)
O,
cuyas raíces son
T¡
=
1,
T2
=
- 1,
T3
=
- 2,
T4
=
3.
Luego, cuatro soluciones linealmente independ ientes de la ecuación son
y la solución general de (4.24) es
EJEMPLO
2. Resolver
y(6)
_
8y(5)
+
17y(4)
+
6y'"
-
44y"
+
8y'
+
32y
=
O
(4.25)
Solución.
La ecuación auxiliar de (4.25) es
r 6
-
8r 5
+
17r 4
+
6r 3
-
44r
2
+
8r
+
32
O
(r
-
2)3(r
-
4)(r
+
1)2
=
O.
De la última expresión es claro que las raíces de la ecuación auxiliar, con sus respectivas
multiplicidades son
Tl
=
2,
de multiplicidad tres;
r2
4,
de multiplidad uno (raíz simple);
r3
- 1, de multiplicidad dos (raíz doble).
Tomando en cuenta cada raíz y sus multiplicidades respectivas, tenemos las siguientes
soluciones l.i . de (4.25)
e
2x
,
xe
2x
,
x
2
e
2x
correspondientes a la raíz
TI
=
2,
e
4X
correspondiente a la raíz
r2
=
4,
e
-x, xe-x
correspondientes a la raíz
r3
=
- 1.
Por consiguiente la solución general de (4.25) es
y
=
(Cl
+
C2X
+
c3x2)e2x
+
C4e4x
+
(C5
+
C6x)e- x .
EJEMPLO
3. Resolver
y(4)
+
8y"
+
16y
=
O.
(4.26)
